Re: Completude da Geometria e Teorema de Godel

["Rogerio Fajardo" <rogeriofajardo@xxxxxxxxxxx>]

  No segundo grau, falar de coisas como sistema axiomático e Teorema de 
Godel pode assustar um pouco (ou bastante) os alunos que já são 
traumatizados pela Matemática. Por outro lado, mostra uma aspecto muito 
interessante e curioso da matemática, que poderia aumentar o interesse dos 
alunos pela matéria (assim como falar sobre noções de relatividade desperta 
interesse pela física).
   A idéia central do Teorema de Godel é a auto-referência, ou paradoxo do 
mentiroso (para o qual existem centenas de versões), istó é, uma frase que 
diz "Eu estou mentindo". Se essa frase for verdadeira, ela  será falsa, e 
vice-versa, pois ela nega a si própria. Se criarmos uma sentença como essa 
na matemática, teremos um sistema inconsistente (provamos a sentença e sua 
negação) ou incompleto (não provamos nem a sentença nem a negação).
   Godel, usando só o fato do sistema ser capaz de exprimir a aritmética e 
ter a propriedade de ser recursivo (consigo um algoritmo finito para decidir 
se uma fórmula é axioma ou não), criou uma sentença que diz "Eu não posso 
ser provada". O interessante é como ele construiu essa sentença, usando só 
números, símbolos lógicos e as operações + e * (como 2+2=4).

>From: Andre S <andreluiz_sch@yahoo.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: Completude da Geometria e Teorema de Godel
>Date: Sat, 15 Dec 2001 02:13:52 -0300 (ART)
>
>O mais interessante do teorema de Gödel, a meu ver, é
>que não se restringe apenas à matemática, mas a
>qualquer sistema formal de axiomas, como bem lembrou o
>Paulo. Já abordando um aspecto mais físico que
>matemático, já que foi falado no sonho einsteniano, a
>"Teoria do Tudo" realmente passou a ser um sonho
>limitado pela incompletude dos sistemas formais e pela
>teoria da incerteza...
>Infelizmente, nunca me deparei com nenhum exemplo
>compreensível para o 2o. grau do teorema de Gödel.
>Alguém conhece algum?
>André
>
>
>
>
>
>
>  --- Carlos Maçaranduba <soh_lamento@yahoo.com.br>
>escreveu: > vc disse sobre as propriedades do sistema
>formal e
> > sobre a consistencia e a completude.Como vc encara o
> > antagonismo das duas últimas???Vc apenas sabe o que
> > Godel provou ou ENTENDE BEM o que ele demonstrou???è
> > uma coisa de fácil entendimento como 2+2=4,ou ele
> > demonstrou de forma dificil de se entender e vc só
> > memorizou o resultado??Vc está entendendo o que
> > quero
> > dizer??O que quero falar se isso é uma coisa clara
> > ,lógica ,que está na cara ,ou um resultado avançado.
> >
> >
> >
> > --- Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com> escreveu: >
> > Ola Rogerio e demais
> > > colegas desta lista,
> > >
> > > E importante que se compreenda corretamente o que
> > e
> > > um SISTEMA FORMAL e o
> > > que vem a ser COMPLETUDE e CONSISTENCIA num tal
> > > sistema. Estes sistemas tem,
> > > a grosso modo :
> > >
> > > 1) Objetos indefinidos ( ou primitivos )
> > > 2) proposicoes primitivas ( ou axiomas, ou
> > > postulados )
> > >
> > > NAO SE PODE ATRIBUIR AOS OBJETOS PRIMITIVOS
> > NENHUMA
> > > PROPRIEDADE DITADA POR
> > > UMA EVENTUAL REPRESENTACAO MENTAL E INTUITIVA QUE
> > > TENHAMOS DELES. Tudo que
> > > se falar sobre os objetos deve ser uma
> > consequencia
> > > logica dos axiomas e dos
> > > teoremas que ja tenhamos demonstrado. Pode-se
> > > construir novos objetos em
> > > estrita obediencia as regras de construcao.
> > >
> > > 1)Um sistema formal e CONSISTENTE se nao for
> > > possivel provar uma afirmacao e
> > > a sua negacao, isto e, exemplificando, se eu
> > provar
> > > que "A e B" eu nao
> > > poderei provar que "A e nao B"
> > >
> > > 2)Um sistema formal e COMPLETO se todas as
> > > afirmacoes sobre os objetos puder
> > > ser provada com os recursos de inferencia do
> > proprio
> > > sistema, isto e, nao
> > > pode haver uma propriedade usufruida por alguns
> > > objetos do sistema que seja
> > > indemonstravel com os recursos de inferencia do
> > > sistema.
> > >
> > > Em geral, criar uma sistema formal e, em geral, um
> > > dos objetivos perseguidos
> > > para qualquer ramo da matematica, sobretudo quando
> > > ele ja esta
> > > suficientemente maduro e ja deu bons resultados.
> > >
> > > A grosso modo, o que Godel mostrou e que os dois
> > > conceitos acima, de
> > > COMPLETUDE e INCONSISTENCIA, sao antagonicos para
> > > qualquer sistema formal
> > > que use minimos recursos da Aritmetica, isto e :
> > >
> > > "Se o sistema formal for COMPLETO, isto e, toda
> > > afirmacao sobre os objetos
> > > do sistema puderem ser demonstradas com os
> > recursos
> > > de inferencia do
> > > sistema, entao ele sera INCONSISTENTE, vale dizer,
> > > nos seremos capazes de
> > > provar uma teorema e a negacao dele; Se, por outro
> > > lado, o sistema formal
> > > for CONSISTENTE, isto e, se nunca poder acontecer
> > de
> > > provarmos um teorema e
> > > a sua negacao, entao ele sera INCOMPLETO, vale
> > > dizer, haverao propriedades
> > > validas dos objetos do sistema que nos nao seremos
> > > capazes de provar com os
> > > recursos de inferencia do proprio sistema."
> > >
> > > Nao existe Teorema da Completude na Geometria
> > > Euclidiana. Nao no sentido de
> > > COMPLETUDE de um sistema formal. Hilbert mostrou
> > que
> > > a geometria euclidiana
> > > seria consistente, se a algebra tambem fosse. Mas
> > a
> > > consistencia da Algebra
> > > depende da Aritmetica e a prova da consistencia
> > > desta ultima parece muito
> > > dificil de ser conseguida ...
> > >
> > > Ate parece, numa primeira apreciacao, que o
> > Teorema
> > > de Godel e algo ruim e
> > > negativo... Ele sulapou o sonho de Hilbert e de
> > > todos os Matematicos
> > > formalistas, que com seus sistemas formais,
> > tiravam
> > > o sentido intuitivo que
> > > damos aos objetos matematicos, reduzindo a
> > > Matematica a um jogo logico sem
> > > graca, sem semantica e sem sentido.
> > >
> > > Observe que COMPLETUDE e CONSISTENCIA sao
> > > propriedade DO SISTEMA FORMAL, nao
> > > de um de seus objetos : sao portanto propriedades
> > do
> > > TODO. Visto por este
> > > angulo, Godel mostrou que o TODO tem propriedades
> > (
> > > consistencia, completude
> > > )  que sao inacessiveis ou inesplicaveis pela mera
> > > consideracao das partes
> > > que o compoe O TODO, isto e, O TODO E MAIS QUE A
> > > MERA SOMA DAS PARTES. O
> > > cara formalista pressupoe justamente o contrario.
> > > Ele pensa que conhecendo
> > > bem as partes ( axiomas, teoremas, objetos
> > > indefinidos ) vai poder explicar
> > > ( demonstrar ) tudo que aparecer ou ocorrer na
> > > frente dele. E o SONHO
> > > EISNTENIANO de encontrar UM CONJUNTO DE EQUACOES
> > QUE
> > > EXPLICAM TODO O
> > > UNIVERSO.
> > >
> > > Godel, nos permitiu comecar a pensar NO SENTIDO,
> > NA
> > > SEMANTICA, NO FIM, NA
> > > FUNCAO, NO PAPEL, NA INTERPRETACAO TELEOLOGICA,
> > como
> > > algo mais que mera
> > > filosofia barata. Se se retirar o sentido das
> > > coisas, as coisa perdem o
> > > sentido. Agora, como articular de forma
> > consistente
> > > e seria este sentido ?
> > >
> > > Todos os danos que estamos causando ao mundo
> > > natural, que vem ha anos
> > > preocupando ecologistas do mundo inteiro, promanam
> > > de nossa ignorancia com
> > > respeito ao papel e o sentido dos fenomenos. O
> > ideal
> > > seria que nos nos
> > > relacionassemos com a natureza respeitando os seus
> > > acontecimentos ou o papel
> > > que cada coisa tem. Todavia, quem tem que dar esta
> > > linguagem, como sempre, e
> > > a Matematica, e muito provavelmente foi o Teorema
> > de
> > > Godel o primeiro passo
> > > neste sentido.
> > >
> > > Um abraco
> > > Paulo Santa Rita
> > > 6,1500,141201
> > >
> > >
> > >
> > > >From: "Rogerio Fajardo"
> > > <rogeriofajardo@hotmail.com>
> > > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > > >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > > >Subject: Completude da Geometria e Teorema de
> > Godel
> > > >Date: Fri, 14 Dec 2001 14:08:24 +0000
> > > >
> > > >Olá,
> > > >
> > > >  O que diz o teorema da completude da geometria
> > > euclideana? Alguns livros
> > > >chamam de categoricidade, ou coisa parecida, e
> > > parece que diz que todos os
> > > >modelos (para geom. euclideana) são isomorfos
> > entre
> > > si. Mas isso não
> > > >implica
> > > >que não existe sentenças independentes na geom.
> > > euclideana? E isso não
> > > >contraria o Teorema de Godel (afinal, na
> > geometria
> > > eu posso expressar a
> > > >aritmética)?
> > > >
> > > >Rogério
> > > >
> > > >
> > >
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