Re: Teorema de galois

["Jose Paulo Carneiro" <jpqc@xxxxxxxxxxxxx>]

Ateh onde eu sei (de segunda mao, pelos compendios, isto eh, nao li todos os
textos originais):
Lagrange (1770) foi o primeiro a perceber a importancia das permutacoes nas
formulas para as raizes;
Ruffini (mesma epoca) foi o primeiro a afirmar que nao havia uma formula
geral para as raizes de uma equacao do quinto grau, em termos dos
coeficientes e so envolvendo operacoes racionais e radicais (equacoes
binomias, na realidade), mas sua demonstracao nao convenceu os
contemporaneos; mas note-se que ha alguns modernos que tendem a reabilitar a
demonstracao de Ruffini;
Niels Abel (viveu 26 anos no inicio do sec. XIX) primeiro deu uma
demonstracao convincente do fato, e ainda mostrou outras coisas, tais como
uma condicao suficiente para que uma equacao de quinto grau seja soluvel por
meio de radicais (esta condicao pode ser traduzida pela comutatividade de um
certo grupo de permutacoes, e dahi vem o nome "grupo abeliano");
Galois (nasceu em 1810 e morreu aos 20 anos) estabeleceu os conceitos
basicos que acabaram provando a condicao necessaria e suficiente para que
uma equacao de qualquer grau seja soluvel por meio de radicais (em termos de
grupos soluveis, na notacao atual); para isto, criou a nocao de subgrupo
normal; e tambem trabalhou, pela primeira vez, com corpos finitos. Tambem
ninguem entendeu o que ele escreveu na epoca. So uns 40 anos apos sua morte,
Liouville (creio) redescobriu os textos de Galois.
JP



----- Original Message -----
From: Nicolau C. Saldanha <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, November 21, 2001 9:54 AM
Subject: Re: Teorema de galois


On Wed, Nov 21, 2001 at 09:14:00AM +0000, Rogerio Fajardo wrote:
>
> Afinal, quem provou que para as equações polinomiais de grau maior ou
igual
> a 5 não existem fórmulas como as de Báskara? Abel ou Galois? Qual foi a
> contribuição de cada um na Teoria dos Grupos?

Esta eu não sei bem, mas tenho a impressão de que Abel fez alguma coisa
interessante mas meio especial e Galois, que veio um pouco mais tarde,
é considerado o criador da parte da teoria de corpos que leva seu nome.
Seria bom se alguém que saiba mais história da matemática do que eu
escrevesse mais.

> Aproveitando o assunto de grupos simples, gostaria de saber um pouco sobre
o
> chamado "grupo monstro". Parece-me que é o maior grupo simples finito, ou
> algo parecido (alguém, por favor, corrija-me ou confirme). Quais são as
> aplicações desse grupo na matemática?

Os grupos simples finitos são os seguintes:

(a) Z/(p), p primo
(b) A_n, n >= 5, o grupo das permutações pares de um conjunto de n elementos
(c) Os grupos de Chevalley, análogos finitos dos grupos de Lie.
    O exemplo mais elementar de grupo deste tipo é PSL(2,p), p >= 5,
    o conjunto das matrizes 2x2 com coeficientes em Z/(p),
    determinante 1, onde identificamos as matrizes X e -X.
(d) Outros.

Uma classificação destas é totalmente sem graça se não se disser alguma
coisa sobre os membros da categoria (d). O teorema de classificação
diz que os grupos do item (d) são apenas um número finito e dá a lista
completa. O monstro é o maior membro desta lista. Note que os itens
(a), (b) e (c) dão listas infinitas de grupos simples finitos.

[]s, N.