Re: RES: RES: Equação funcional

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, Oct 30, 2001 at 02:15:25PM -0200, Eric Campos Bastos Guedes wrote:
> > A solução do Nicolau satisfaz a sua pergunta?
> 
> Satisfaz sim.  Ele deu um exemplo de funcao f:R->R tal que f(f(x))=x+1, mas
> f(x) nao eh a funcao que leva x em x + 1/2.  Gostaria de saber como ele
> chegou nesse exemplo, como ele raciocinou ou se ja era resultado conhecido.

De certa forma era conhecido, tem a ver com dinâmica de funções do
círculo S^1 em S^1.

Uma construção geral para todas as soluções contínuas é a seguinte.
Dizemos que uma função h é de grau 1 se h(x+1) = h(x) + 1 para todo x.
É fácil obter funções de grau 1 a partir de funções periódicas:
se u(x) é periódica de período 1 então h(x) = x + u(x) é de grau 1.

Seja agora h uma função de grau 1 bijetora.
A função inversa h^(-1) também é de grau 1.

Seja g(x) uma solução para a sua equação

g(g(x)) = x+1

Por simplicidade, g(x) = x + (1/2). Então a função

g1(x) = h^(-1)(g(h(x)))

também satisfaz a sua equação:

g1(g1(x)) = h^(-1)(g(h(h^(-1)(g(h(x))))))
          = h^(-1)(g(g(h(x))))
          = h^(-1)(h(x) + 1)
          = h^(-1)(h(x)) + 1
          = x + 1

Com isso você pode obter um monte de exemplos, inclusive funções analíticas.
Não sei se existe função elementar h de grau 1
cuja inversa também seja elementar.
Função elementar é um termo técnico; muito grosso modo significa função
que pode ser escrita usando álgebra e as funções exp e trigonométricas.

[]s, N.