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Re: Desigualdades (correcao)(desculpas)
ih tah....desculpa mesmo.... vc se referia ao n....estava desligadao
mesmo...foi mal cara...e o livro do arthur engel que eu olhei
mesmo...hehehehe
Tava desatento, foi mal.
[]`s, M
>From: "Rodrigo Villard Milet" <villard@vetor.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: Desigualdades (correcao)
>Date: Wed, 17 Oct 2001 15:59:20 -0300
>
>grau zero, pois fica t^0. a da IMO era assim :
>
>a/sqrt(a^2+8bc) + b/sqrt(b^2+8ac) + c/sqrt(c^2+8ba) >=1
>
>Quando vc calcula F(ta,tb,tc) dá exatamente F(a,b,c), ou seja o grau é
>zero.
>Você pode olhar no livro Problem-Solving Strategies, Arthur Engel. Ele dá
>mais um exemplo :
>Prove que a,b,c>0 .... a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >= 3/2.
>Ele mesmo diz que F(a,b,c) é homogênea de grau 0 e nesse caso ele faz a
>normalização a+b+c=1, que é bem natural pois aparecem as somas parciais.
>Então use a desigualdade das médias aritmética e harmônica com os números
>a+b, a+c, b+c. Daí (a+b+a+c+b+c)(1/(a+b) + 1/(a+c) + 1/(b+c)) >=9... ou
>seja
>: 1/(a+b) + 1/(a+c) + 1/(b+c) >= 9/2 logo (a+b+c)/(a+b) + (a+b+c)/(a+c) +
>(a+b+c)/(b+c) >=9/2 ...
> a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >= 3/2 (CQD)
> Talvez quando vc perceber que a desigualdade é homogênea vc nem tenha que
>citar o grau... a substituição que faz é o mais importante...
> Mas vc percebeu pq pode "normalizar" ? é que (a,b,c) satisfaz a
>desigualdade se, e somente se, (ta,tb,tc) tb satisfaz (isso é bastante
>claro
>qd o grau é zero). Daí, se vc supõe por exemplo a+b+c = 1 e prova a
>desigualdade, vc está provando q vale a desigualdade para qualquer soma
>a+b+c. Mesma coisa para o artifício a=1, b=1+x, c=1+y... basta olhar para o
>que acontece com o "a".
>Me corrijam se estiver errado.
>Abraços, Villard
>
>PS.: Em qual livro vc está estudando isso ?
>
>
>
>-----Mensagem original-----
>De: Marcelo Souza <marcelo_souza7@hotmail.com>
>Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Data: Quarta-feira, 17 de Outubro de 2001 14:09
>Assunto: Re: Desigualdades (correcao)
>
>
> >cara, outra coisa que nao tinha reparado....to mandando agora...
> >Eu acho que naum existe homogenea de grau zero....de acordo com o livro
> >f(a,b,c)= f(ta,tb,tc)=tf(a,b,c), com t dif de zero, o minimo e grau 1.
> >valeu!
> >corrijam se eu estiver errado
> >abracos
> >M.
> >
> >
> >
> >>From: "Rodrigo Villard Milet" <villard@vetor.com.br>
> >>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >>Subject: Re: Desigualdades
> >>Date: Wed, 17 Oct 2001 00:03:10 -0300
> >>
> >>Uma desigualdade é dita simétrica se ao trocar de ordem as variáveis a
> >>desigualdade não se altera.
> >>Ex.: a^2 + b^2 + c^2 >= ab+ac+bc.
> >>OBS: É interessante termos uma desigualdade simétrica nas variáveis,
>pois
> >>podemos supor sem perda de generalidade que elas estão numa certa ordem.
>No
> >>exemplo que eu dei, vc pode supor a >=b >=c ( é claro que há 1001
>maneiras
> >>de provar essa desigualdade sem isso ).
> >>
> >>Agora, vamos olhar para desigualdades de outra maneira. Deixe todas as
> >>variáveis de um lado da inequação. Desse lado tem-se uma função de
>várias
> >>variáveis.
> >>Ex.: Em a^2 + b^2 + c^2 >= ab+ac+bc, faça F(a,b,c) = a^2 + b^2 + c^2 -
> >>ab-ac-bc. Vc quer provar que F(a,b,c)>=0, para quaisquer a,b,c.
> >>Uma função é dita homogênea de grau n, quando f(ta,tb,tc)=t^n *
>f(a,b,c).
> >>A desigualdade acima é então homogênea de grau 2.
> >>
> >>Eu acho que o grau não importa muito. O que interessa é se ela é
>homogênea
> >>ou não.
> >>Por exemplo, na desigualdade acima, note que F(ta,tb,tc)>=0 se e somente
>se
> >>F(a,b,c)>=0. Então podemos fazer algumas normalizações ( fizar a soma
>das
> >>variáveis, fixar uma das variáveis, etc...).
> >>No exemplo dado, faça a=1, b=1+x, c=1+y. Ficamos com
> >>F(1,1+x,1+y)=x^2+y^2-xy=(x-y/2)^2 + (3y^2)/4 >=0.
> >>
> >>Outro exemplo bastante significativo é o problema 2 desta última IMO.
>Era
> >>uma desigualdade homogênea ( de grau 0, o que não importa ). Daí, era
>legal
> >>fazer a+b+c=1, o que nos possibilitava usar a desigualdade de Jensen...
>e
> >>assim vai. A moral da história é : fique feliz se a desigualdade for
> >>simétrica ou homogênea, pois você ou pode matar o problema direto, ou
>pode
> >>cair num problema mais fácil. :)
> >>
> >>Espero não ter errado alguma definição,
> >>Abraços,
> >>Villard
> >> -----Mensagem original-----
> >> De: Marcelo Souza <marcelo_souza7@hotmail.com>
> >> Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >> Data: Terça-feira, 16 de Outubro de 2001 19:40
> >> Assunto: Desigualdades
> >>
> >>
> >> ol[a pessoal,
> >>
> >> Quando que uma desigualdade e simetrica (acho que diz simetrica em
> >>relacao as variaveis)?
> >>
> >> Quando uma desigualdade e homogenea de grau n?
> >>
> >> abracos
> >>
> >>
> >>
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