Re: Desigualdades (correcao)

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

grau zero, pois fica t^0. a da IMO era assim :

a/sqrt(a^2+8bc) + b/sqrt(b^2+8ac) + c/sqrt(c^2+8ba) >=1

Quando vc calcula F(ta,tb,tc) dá exatamente F(a,b,c), ou seja o grau é zero.
Você pode olhar no livro Problem-Solving Strategies, Arthur Engel. Ele dá
mais um exemplo :
Prove que a,b,c>0 .... a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >= 3/2.
Ele mesmo diz que F(a,b,c) é homogênea de grau 0 e nesse caso ele faz a
normalização a+b+c=1, que é bem natural pois aparecem as somas parciais.
Então use a desigualdade das médias aritmética e harmônica com os números
a+b, a+c, b+c. Daí (a+b+a+c+b+c)(1/(a+b) + 1/(a+c) + 1/(b+c)) >=9... ou seja
:  1/(a+b) + 1/(a+c) + 1/(b+c) >= 9/2 logo (a+b+c)/(a+b) + (a+b+c)/(a+c) +
(a+b+c)/(b+c) >=9/2 ...
 a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >= 3/2 (CQD)
 Talvez quando vc perceber que a desigualdade é homogênea vc nem tenha que
citar o grau... a substituição que faz é o mais importante...
 Mas vc percebeu pq pode "normalizar" ? é que (a,b,c) satisfaz a
desigualdade se, e somente se, (ta,tb,tc) tb satisfaz (isso é bastante claro
qd o grau é zero). Daí, se vc supõe por exemplo a+b+c = 1 e prova a
desigualdade, vc está provando q vale a desigualdade para qualquer soma
a+b+c. Mesma coisa para o artifício a=1, b=1+x, c=1+y... basta olhar para o
que acontece com o "a".
Me corrijam se estiver errado.
Abraços, Villard

PS.: Em qual livro vc está estudando isso ?



-----Mensagem original-----
De: Marcelo Souza <marcelo_souza7@hotmail.com>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quarta-feira, 17 de Outubro de 2001 14:09
Assunto: Re: Desigualdades (correcao)


>cara, outra coisa que nao tinha reparado....to mandando agora...
>Eu acho que naum existe homogenea de grau zero....de acordo com o livro
>f(a,b,c)= f(ta,tb,tc)=tf(a,b,c), com t dif de zero, o minimo e grau 1.
>valeu!
>corrijam se eu estiver errado
>abracos
>M.
>
>
>
>>From: "Rodrigo Villard Milet" <villard@vetor.com.br>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>Subject: Re: Desigualdades
>>Date: Wed, 17 Oct 2001 00:03:10 -0300
>>
>>Uma desigualdade é dita simétrica se ao trocar de ordem as variáveis a
>>desigualdade não se altera.
>>Ex.: a^2 + b^2 + c^2 >= ab+ac+bc.
>>OBS: É interessante termos uma desigualdade simétrica nas variáveis, pois
>>podemos supor sem perda de generalidade que elas estão numa certa ordem.
No
>>exemplo que eu dei, vc pode supor a >=b >=c ( é claro que há 1001 maneiras
>>de provar essa desigualdade sem isso ).
>>
>>Agora, vamos olhar para desigualdades de outra maneira. Deixe todas as
>>variáveis de um lado da inequação. Desse lado tem-se uma função de várias
>>variáveis.
>>Ex.: Em a^2 + b^2 + c^2 >= ab+ac+bc, faça F(a,b,c) = a^2 + b^2 + c^2 -
>>ab-ac-bc. Vc quer provar que F(a,b,c)>=0, para quaisquer a,b,c.
>>Uma função é dita homogênea de grau n, quando f(ta,tb,tc)=t^n * f(a,b,c).
>>A desigualdade acima é então homogênea  de grau 2.
>>
>>Eu acho que o grau não importa muito. O que interessa é se ela é homogênea
>>ou não.
>>Por exemplo, na desigualdade acima, note que F(ta,tb,tc)>=0 se e somente
se
>>F(a,b,c)>=0. Então podemos fazer algumas normalizações ( fizar a soma das
>>variáveis, fixar uma das variáveis, etc...).
>>No exemplo dado, faça a=1, b=1+x, c=1+y. Ficamos com
>>F(1,1+x,1+y)=x^2+y^2-xy=(x-y/2)^2 + (3y^2)/4 >=0.
>>
>>Outro exemplo bastante significativo é o problema 2 desta última IMO. Era
>>uma desigualdade homogênea ( de grau 0, o que não importa ). Daí, era
legal
>>fazer a+b+c=1, o que nos possibilitava usar a desigualdade de Jensen... e
>>assim vai. A moral da história é : fique feliz se a desigualdade for
>>simétrica ou homogênea, pois você ou pode matar o problema direto, ou pode
>>cair num problema mais fácil. :)
>>
>>Espero não ter errado alguma definição,
>>Abraços,
>>Villard
>>     -----Mensagem original-----
>>     De: Marcelo Souza <marcelo_souza7@hotmail.com>
>>     Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>     Data: Terça-feira, 16 de Outubro de 2001 19:40
>>     Assunto: Desigualdades
>>
>>
>>     ol[a pessoal,
>>
>>     Quando que uma desigualdade e simetrica (acho que diz simetrica em
>>relacao as variaveis)?
>>
>>     Quando uma desigualdade e homogenea de grau n?
>>
>>     abracos
>>
>>
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