reta de Euler e construcao

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

A reta de Euler é a reta que contém os pontos
H,G,O e HG=2GO.

Bom, já ajuda um pouco para resolver o seguinte
problema:

Construa o triângulo ABC dados o lado AB=c e a reta
de Euler e.

===
We are given the side c (= AB) and the Eulerian line e
of a triangle ABC in their real positions.

Reconstruct triangle ABC from this information.
===

Solução:
.
.
.
.
.
.
.
***
 Let M be the midpoint of AB.

(1) Draw the perpendicular bisector of AB to intersect the given line e at
the circumcenter O.

(2) Construct the circumcircle, and let it intersect the perpendicular
bisector of AB at X and Y.

(3) Mark points P and Q on the segments MX and MY such that MP=MX/3 and
MQ=MY/3.

(4) Construct the circle with diameter PQ.

            This circle intersects the line e at 0, 1, or 2 points.

Each intersection of this circle with e is a possible position for the
centroid G of the triangle.
The vertex C is the intersection of the half line MG with the circumcircle.

***

Alguém pode justificar os passos (3) e (4) ??

Uma outra solução (mais natural?) seria considerar o ponto D
na altura (reta) h_c e no círculo circunscrito.

Então HH_c=H_cD e podemos construir D.

No meu esboço a mão livre, horrível, o problema tem duas soluções.

[]'s
Luís