Re: Vamos contar?

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

É verdade. Dado um conjunto X, mostramos que #(P(X)) > #(X). Vejamos :
 É trivial que #(P(X)) >= #(X) ( inclusão natural ). Basta mostrar que não
vale a igualdade. Bem, como na minha outra mensagem, suponha que exista um
bijeção U : X->P(X). Daí, considere o conjunto A = { y real ; y não pertence
a U(y) } ( obviamente A não é vazio ). Afirmação : A não pertence a Im(U).
Suponha o contrário. Daí, existe t real, tal que U(t) = A.
 Se t pertence a A, pela definição de A, t não pertence a U(t) = A,
contradição.
 Se t não pertence a A, t não pertence a U(t), logo, pela definição de A, t
pertence a A, contradição. Daí, conclui-se que este t não existe. Logo, A
não pertence a Im(U). Com isso, temos que a função U não é sobrejetiva,
logo, não há bijeção de X em P(X), daí #(P(X)) > #(X).
 Abraços,
      ¡Villard!



-----Mensagem original-----
De: Nicolau C. Saldanha <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quarta-feira, 15 de Agosto de 2001 08:35
Assunto: Re: Vamos contar?


>On Tue, Aug 14, 2001 at 05:19:15PM -0300, Bruno Mintz wrote:
>> Olá...
>>
>> Fiquei sabendo ontem de uma coisa muito divertida... :) Não sei se
>> "coisa" é uma palavra tão ruim assim, porque infinitos são mesmo
>> coisas(!) não muito bem definidas.  É o seguinte: para contar, por
>> exemplo, quantas bananas existem num cacho, eu associo um número natural
>> a uma das bananas e exatamente àquela banana o mesmo número, certo?
>> (Correspondência biunívoca.) Pergunta: quantos números naturais existem?
>> Infinitos... a gente sempre pode pôr mais um. Oquei... Quantos inteiros?
>> Bacana a resposta: tantos quantos os naturais... Basta associar a cada
>> inteiro um natural. E racionais? Idem.  E reais? Aí não é o mesmo: tem
>> mais...
>
>Isto que você descreve são cardinais infinitos, conforme estudados
>inicialmente por Cantor. Dois conjuntos X e Y tem o mesmo cardinal se
>existe uma bijeção entre eles; o cardinal de X é menor ou igual ao de Y
>se existir uma função injetora de X para Y, ou, equivalentemente,
>se existir uma função sobrejetora de Y para X.
>>
>> Para a quantidade de naturais, o professor usou a letra (hebraica)
>> "aleph" com o índice zero: A_0. Para a quantidade de reais, usou A_1 e
>> disse que é possível demostrar que existem infinitos tipos de infinitos!
>> Um maior que o outro! A_2, por exemplo, ele associou a alguma propriedade
>> do espaço funcional.
>
>Sinto muito contradizer seu professor, mas esta não é a notação usual.
>Aleph_0 é sempre o cardinal dos naturais mas Aleph_1 é por definição
>o cardinal seguinte. A hipótese do contínuo diz que o cardinal de R
>é Aleph_1; a hipótese do contínuo é independente dos axiomas usuais
>da teoria dos conjuntos e os especialistas discordam quanto a se ela
>deve ser considerada intuitivamente verdadeira ou falsa. Se uma
demonstração
>usa a hipótese do contínuo, esta hipótese deve ser claramente enunciada
>e surge naturalmente a questão se existe uma demonstração que não use
>a hipótese do contínuo.
>
>Algumas notações usualmente aceitas para o cardinal dos reais são
>2^{Aleph_0} e Beth_0 (Beth é a segunda letra do alfabeto hebraico).
>>
>> Pergunta: Quantos complexos há? Tantos quanto os reais? Mais?
>
>Existem exatamente tantos complexos quanto reais.
>Uma idéia ingênua é escrever parte real e parte imaginária
>como expansões decimais infinitas e intercalar os dígitos
>para obter um único número real que 'encodifica' os dois primeiros.
>O problema é que como 1.00000000... = 0.99999999...
>(conforme já foi bastante discutido nesta lista ;-))
>às vezes um número real admite duas expansões decimais.
>O problema é contornável de várias formas.
>
>> Como demostrar
>> que existem infinitos "tipos" de infinito?
>
>Você pode mostrar que nunca existe uma bijeção entre um conjunto X e
>P(X) = {Y | Y é subconjunto de X}. Mais, o cardinal de P(X) é sempre
>maior do que o de X.
>
>> (Talvez fosse interessante alguém
>> reproduzir a demonstração do que eu disse acima, porque eu não saberia
>> explicá-la bem. Se não me engano, o matemático que estudou isto foi
>> "Canton"(?), "Cantor"(?),...)
>>
>> Não sei se essas idéias podem sair da matemática pura (podem???),
>
>De onde mais?
>
>> mas todos temos, no mínimo, curiosidade quando falamos do infinito.
>
>Claro.
>
>[]s, N.
>