Re: Vamos contar?

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

Consulte o livro do Halmos ou o livro do Elon de Análise. Posso mostrar que
os Reais não são enumeráveis, ou seja, que "não podemos contar" os reais.
Para isso, temos que mostrar que não existe bijeção de N em R, ok ? Bem,
suponha que esta bijeção existe. Daí, vou mostrar que "eskecemos sempre de
contar pelo menos um real, e daí a função não é sobrejetiva. Para isso,
considere que ao representar um número real, ao invés de colocarmos os
algarismos de 0 a 9, colocamos suas representações binárias. Agora, cada
real é representado por seqüências de 0`s e 1`s ( Obviamente essa
representação não tem unicidade, por exemplo 110 pode ser 6, 30 ou 12......
Mas o que interessa é que cada real possui UMA representação desta forma
! ).  Para evitar problemas futuros, vamos estabeleces que dado um certo
número de reais, vou querer que todos tenham a mesma quantidade de dígitos à
esquerda da vírgula, para isso, complete com zeros à esquerda quando
necessário. Vamos então explicitar a bijeção f: N->R :
 f(1) = a(1_1)a(1_2)a(1_3)_...,b(1_1)b(1_2)....
 f(2) = a(2_1)a(2_2)a(2_3)_...,b(2_1)b(2_2)....
....
 f(n) = a(n_1)a(n_2)a(n_3)_...,b(n_1)b(n_2)....
.....

Seja X o número real, tal que X = c(1_1)c(2_2)c(3_3)_... onde :
 c(i_i) = 0, se a(i_i) = 1
 c(i_i) = 1, se a(i_i) = 0
Note que X não pertence à Im(f), se tivéssemos X = f(y), para algum y, então
certamente pela construção de X, temos c(y_y) diferente de a(y_y), logo X é
diferente de f(y), para qualquer y, logo, X não pertence à Im(f).
Com isso, "deixamos de contar" esse X e assim f não é sobrejetiva !
 Logo, #(R) > #(N)

Abraços,  ¡ Villard !
-----Mensagem original-----
De: Caio Augusto <caio.lic@bol.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Terça-feira, 14 de Agosto de 2001 22:41
Assunto: Re: Vamos contar?


>Ola Bruno,
>
>Nunca ajudei na lista pq num da tempo, sempre alguem resopnde antes q eu,
>mas acho q isso pode ajudar a entender o infinito dos irracionais e talvez
>ateh dos complexos. Pelo que meu professor me disso eh obvio q da pra
>associar os naturais aos inteiros. Mas a partir dai complica.
>Para associar os naturais aos racionais, basta lembrar que o racional eh da
>forma p/q, ligar a dupla (p,q) de inteiros aos irracionais. Jah para os
>irracionais eh impossivel, pq se pudessemos escrever uma enumeracao de
todos
>irracionais, Cantor mostrou que conseguiria mostrar um irracional que naum
>estivesse na lista. E assim o infinito dos irracionais eh muito maior q o
>dos racionais, e portanto a probabilidade de sortear um racional entre 0 e
>1, eh 0 e de sortear um irracional eh 1. Talvez entaum para associar os
>inteiros aos complexos precisamos de uma quadrupla (p,q,x,y) ligando ao
>complexo (p/q)+(x/y)i.
>Qualquer coisa q eu deixei meio vago me avisem pq naum sou mto bom em
>explicacoes.
>
>Caio Augusto
>