Re: Vamos contar?

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, Aug 14, 2001 at 05:19:15PM -0300, Bruno Mintz wrote:
> Olá...
> 
> Fiquei sabendo ontem de uma coisa muito divertida... :) Não sei se
> "coisa" é uma palavra tão ruim assim, porque infinitos são mesmo
> coisas(!) não muito bem definidas.  É o seguinte: para contar, por
> exemplo, quantas bananas existem num cacho, eu associo um número natural
> a uma das bananas e exatamente àquela banana o mesmo número, certo?
> (Correspondência biunívoca.) Pergunta: quantos números naturais existem?
> Infinitos... a gente sempre pode pôr mais um. Oquei... Quantos inteiros?
> Bacana a resposta: tantos quantos os naturais... Basta associar a cada
> inteiro um natural. E racionais? Idem.  E reais? Aí não é o mesmo: tem
> mais...

Isto que você descreve são cardinais infinitos, conforme estudados
inicialmente por Cantor. Dois conjuntos X e Y tem o mesmo cardinal se
existe uma bijeção entre eles; o cardinal de X é menor ou igual ao de Y
se existir uma função injetora de X para Y, ou, equivalentemente,
se existir uma função sobrejetora de Y para X.
>
> Para a quantidade de naturais, o professor usou a letra (hebraica)
> "aleph" com o índice zero: A_0. Para a quantidade de reais, usou A_1 e
> disse que é possível demostrar que existem infinitos tipos de infinitos!
> Um maior que o outro! A_2, por exemplo, ele associou a alguma propriedade
> do espaço funcional.

Sinto muito contradizer seu professor, mas esta não é a notação usual.
Aleph_0 é sempre o cardinal dos naturais mas Aleph_1 é por definição
o cardinal seguinte. A hipótese do contínuo diz que o cardinal de R
é Aleph_1; a hipótese do contínuo é independente dos axiomas usuais
da teoria dos conjuntos e os especialistas discordam quanto a se ela
deve ser considerada intuitivamente verdadeira ou falsa. Se uma demonstração
usa a hipótese do contínuo, esta hipótese deve ser claramente enunciada
e surge naturalmente a questão se existe uma demonstração que não use
a hipótese do contínuo.

Algumas notações usualmente aceitas para o cardinal dos reais são
2^{Aleph_0} e Beth_0 (Beth é a segunda letra do alfabeto hebraico).
> 
> Pergunta: Quantos complexos há? Tantos quanto os reais? Mais?

Existem exatamente tantos complexos quanto reais.
Uma idéia ingênua é escrever parte real e parte imaginária
como expansões decimais infinitas e intercalar os dígitos
para obter um único número real que 'encodifica' os dois primeiros.
O problema é que como 1.00000000... = 0.99999999...
(conforme já foi bastante discutido nesta lista ;-))
às vezes um número real admite duas expansões decimais.
O problema é contornável de várias formas.

> Como demostrar
> que existem infinitos "tipos" de infinito? 

Você pode mostrar que nunca existe uma bijeção entre um conjunto X e
P(X) = {Y | Y é subconjunto de X}. Mais, o cardinal de P(X) é sempre
maior do que o de X.

> (Talvez fosse interessante alguém
> reproduzir a demonstração do que eu disse acima, porque eu não saberia
> explicá-la bem. Se não me engano, o matemático que estudou isto foi
> "Canton"(?), "Cantor"(?),...)
> 
> Não sei se essas idéias podem sair da matemática pura (podem???),

De onde mais?

> mas todos temos, no mínimo, curiosidade quando falamos do infinito.

Claro.

[]s, N.