O problema com estas "contas" do tipo
0,444... * 9 = 3,9...96 me parece residir no seguinte.
Nos nos acostumamos, quando criancas, a fazer
certas contas sem discutir, e os procedimentos usados ganharam o status de
"teoremas", que logo em seguida sao generalizados para numeros ou
contas com "pontinhos".
Como professor, ja encontrei muitas vezes esta
questao. Uma vez, discutindo em aula (num curso superior de Mat) o 0,999...,
encontrei alguns alunos para os quais o argumento mais forte para 0,999..=1
era a regra: "tantos noves quantos sejam os algarismos do periodo,
etc.", de modo que 0,999...=9/9=1. Ou seja, o argumento de autoridade
da "tia", ja devidamente inetrnalizado.
Gente, nenhuma dessas questoes pode ser
discutida antes de se definir o que se quer dizer com os pontinhos que
aparecem, por exemplo, em 0,444..., e isto eh um processo de
"limite", ou seja, envolve o infinito, sobre o qual o Hugo (e toda
a torcida do Flamengo) expressou duvidas.
Quando digo isto, alguns torcem o nariz:
"mas se envolvem limite, como vamos abordar no ensino elementar?"
Simples: os conceitos de infinito e limite sao inevitaveis na Mat.
elementar. So porque no ensino superior, esses conceitos sao vistos de uma
forma sofisticada e formalizada (muito necessaria, alias), nao quer dizer
que nao possam ser abordadas antes de forma mais intuitiva.
Mas "intuitiva" nao quer dizer errada
ou enganadora. Nao podemos enganar as criancinhas, passando por cima da
questao conceitual, e apelando apenas para regras operacionais. Os exemplos
do Hugo sao interessantes para mostrar que essas regras nao vao sempre
funcionar. Como costuma dizer o Elon (isto eh, o Prof. Elon Lages Lima),
ensinar Mat. eh como educacao sexual: muitas vezes nao se pode logo dizer
toda a verdade para uma crianca, mas tambem nao se pode dizer para ela
coisas que mais tarde serao desmentidas.
Talvez o "argumento" mais usado ( e
muito convincente, em geral) para 0,999..=1 eh o seguinte:
0,999...=x
9,999...=10x
Subtraindo: 9=9x
x=1
Novamente: por que a primeira passagem? porque
se extrapola para o infinito uma regra que sabemos valida para o finito
(multiplicar por 10 equivale a andar com a virgula). Na realidade, as
passagens sao validas, essencialmente porque limite de 10 vezes algo eh 10
vezes o limite de algo, mas repito: sem discutir o que querem dizer os
pontinhos, este argumento eh:
1) desonesto e embromativo: mah educacao
sexual;
2) enganador, como mostram os exemplos do
Hugo.
O que fazer entao? eh uma longa historia, mas
sugiro uma visao geometrica sobre a reta.
Por exemplo, resumindo muito: 0,999...eh o
unico ponto pertencente a todos os intervalos fechados: [0,9; 1]; [0,99; 1],
etc.
Geometria para ver e entender. Algebra para
fornecer exatidao.
JP
----- Original Message -----
Sent: Wednesday, August 08, 2001
8:39 PM
Subject: Dizimas e Infinito
Novamente...
Olá colegas da lista, estive lendo os arquivos
dessa lista, sobre a questão das dízimas... achei bastante
interessante e esclarecedor tudo o que foi discutido aqui mas ainda me
restaram algumas dúvidas e por isso gostaria de trazer essa
questão à tona mais uma vez...
0,999...=1 , para mim isso ficou bastante claro mas me
surgiu uma outra duvida
2/3=0,666... mas
0,666...+
0,666...
0,666...
=
1,9...98
devemos considerar esse número como sendo =0,999...=1 ???? e essa
ainda mais intrigante:
4/9=0,444... mas
0,444...*9=3,9...96 e da mesma forma fiz isso
com outras fraçòes...
e agora, esse número é igual a quatro? e
quanto aos numeros 3.9...97, e 3.9...98? também sao iguais a
quatro? Ou será que podemos dizer que numeros desse tipo na
verdade sao diferentes mas que na verdade nao sao ordenáveis
entre si? (Essa ultima pergunta me parece bastante interessante dentro
dos Reais e acho que poderia gerar boas teses...)
Outra coisa que me deixou com uma pulga atrás
da orelha foi a noção de infinito. Por exemplo, num
plano sabemos que existem infinitas retas, também sabemos que a
uma dada r reta no plano existem infinitas retas paralelas a esta mesma
reta.É bastante claro que nem todas as retas do plano sao
paralelas à reta r. Podemos entao dizer que no plano existe um
numero maior de retas do que o numero de retas que sao paralelas a
r??? (nao sei se ficou bem claro... bem na minha opiniao nao
podemos fazer essa afirmaçao, mas isso gerou controvérsias
entre meus colegas...)
usando disso surgiu uma pergunta: que número
é maior 0,9...9 ou 0,999... ?
...
Bem, sei que esse assunto jah foi bem discutido aqui
na lista, mas aqueles que puderem me ajudar nisso ou quiserem discutir
sobre o assunto podem me enviar e-mails fora da lista, iver@infonet.com.br
Abraços a todos,
Hugo