RES: Problemas da IMO - Questao 1

["M. A. A. Cohen" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

Acho que consegui fazer a primeira.. vou escrever aqui os pontos principais
pra quem puder me dar uma ajuda em conferir se eu nao errei nada..
(provavelmente eh a solucao mais grande e grotesca que seria possivel de se
dar para esse problema, mas foi o melhor que eu consegui. daqui a pouco
aparecem solucoes (bem) menores)..

Seja R=1u.m. o raio do circulo circunscrito,
u=sen(a+b), v=sen(a-b), onde a e b sao os angulos ACB e ABC respectivamente.
(como 30=<a-b<90, tem-se 1/2 =< v < 1).
x=ang.<COP>

A desigualdade a ser provada eh CAB + COP < 90, i.e., 180-a-b+x<90 ou seja,
a+b > x + 90 ou ainda, sen(a+b) > sen(x+90) (pois a+b>90 se o triangulo eh
agudo).
Logo, como cosx>0, basta mostrar que
	u^2 > cos^2(x)

(i) PC = u-v
Pela lei dos senos, PC=ACcosa = 2senbcosa = u-v.

(ii)OP^2 = 1 + (u-v)^2 -2(u-v)u
No triang. OPC: OP^2 = R^2 + PC^2 -2PCcosOCP.
(e ACO = 90-b => OCP = a+b-90 => cosOCP = sen(a+b) ).

(iii) cos^2(x) = [1-2u^2+2uv+u^2(u-v)^2]/(v^2-u^2+1)
PC^2 = OP^2 + R^2 - 2R*OP*cosx =>
(u-v)^2 = (v^2 - u^2 + 1) + 1 - 2*sqrt(v^2 - u^2 + 1)cosx =>
2u^2 - 2uv - 2 = - 2*sqrt(v^2 - u^2 + 1)cosx
1 - uv - u^2 = sqrt(v^2 - u^2 + 1)cosx  ( e ai basta elevar a 2 pra sumir
com a raiz)

(iv) Juntando tudo, quero provar que:
1-2u^2 +2uv+u^2(u^2-2uv+v^2) > u^2(v^2-u^2+1)   (o denominador era positivo
pq 1-u^2>0)
<=> 1 - 2u^2 + u + 2tu + 2u^4 - u^2 - 2u^3t - u^3 > 0
fazendo v = t + 1/2, com 0<=t=<1/2 :

<=> (1-u^2)(-2u^2 + (2t+1)u + 1)>0
O primeiro parentesis eh positivo pois seno eh sempre menor que 1.
No 2o, o discriminante eh D=4t^2+4t+9. logo, ele zera para:
u1 = [(2t+1)-sqrt(D)]/4 < 0   (pois D>(2t+1)^2)
u2 = [(2t+1)+sqrt(D)]/4 > 1   (pois t>0 => 4t^2+4t+9>9-12t+4t^2
=>0>D>(3-2t)^2=>
=> sqrt(D) > 3-2t => sqrt(D) + (2t+1) > 4.
Logo, para 0<u<1 (que eh o caso sempre), o segundo parentesis tmb eh
positivo, e portanto a desigualdade pedida no enunciado eh verdadeira.

Abracos,
Marcio

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Nicolau C. Saldanha
Enviada em: segunda-feira, 9 de julho de 2001 14:51
Para: obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br; obm-coor@sucuri.mat.puc-rio.br
Assunto: Problemas da IMO

1.

Seja ABC um triangulo acutangulo com circuncentro O.
Seja PA uma altura do triangulo com P no lado BC.

Considere que angulo{BCA} >= angulo{ABC} + 30 graus.

Prove que angulo{CAB} + angulo{COP} < 90 graus.