Problemas da IMO

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

A prova da IMO2001 est'a dispon'ivel na minha home page:
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp

Segue abaixo uma tentativa de transcrever os problemas em texto.
Boa sorte! 
[]s, N.

1.

Seja ABC um triangulo acutangulo com circuncentro O.
Seja PA uma altura do triangulo com P no lado BC.

Considere que angulo{BCA} >= angulo{ABC} + 30 graus.

Prove que angulo{CAB} + angulo{COP} < 90 graus.

2.

Prove que
a/{sqrt{a^2+8bc}} + b/{sqrt{b^2+8ca}} + c/{sqrt{c^2+8ab}} >= 1
para quaisquer numeros reais positivos a, b e c.

3.

Vinte e uma meninas e vinte e um meninos
participaram numa competicao matematica.

Cada participante resolveu no maximo seis problemas.

Para cada menina e cada menino, existe pelo menos um problema que
foi resolvido por ambos.

Prove que existe um problema que foi resolvido por pelo menos tres meninas
e pelo menos tres meninos.

4.

Seja n um inteiro impar maior do que 1
e sejam k_1, k_2, ..., k_n inteiros dados.
Para cada uma das n! permutacoes a=(a_1, a_2, \dots, a_n)
de {1, 2, ..., n}, defina

S(a) = \sum_{i=1}^n k_i a_i.

Prove que existem duas permutacoes b e c, b != c,
tais que n! eh um divisor de S(b) - S(c).

5.

Num triangulo ABC, seja AP a bissectriz
de angulo{BAC} com P no lado BC, e seja BQ a bissectriz
de angulo{ABC} com Q no lado CA.

Sabemos que angulo{BAC} = 60 graus e que AB+BP = AQ+QB.

Quais sao os possiveis valores dos angulos do triangulo ABC?

6.

Sejam a, b, c, d inteiros com a>b>c>d>0.
Considere que ac+bd = (b+d+a-c)(b+d-a+c).
Prove que ab+cd nao eh um numero primo.