Re: Problema-Seleção

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

Na verdade eu já tinha feito de outra forma, mas só não tinha conseguido
mostrar que +-2 não podia... foi assim :
Seja a raiz inteira de Q(x). Daí, olhe os P`s, mod(a). Como sabemos, no
mínimo um dos P`s é 1 e no mínimo um é -1, logo :
 a(n) = 1 mod(a)
 a(n) = -1 mod(a) , onde a(n) é o termo independente de P(x). Subtraindo uma
da outra : 2 = 0 mod(a), logo, temos a = +-1 ou +-2. COmo +-1 não pode,
temos que a = +-2.
 Vamos mostrar que não pode p/ a = 2 :
(i) P(16) = 1
 Daí, existe um k, tal que P(2^k) = -1 e 0<k<4. Daí, (16 - 2^k) | 2 (ABSURDO
!)
(ii) P(16) = -1
 Daí existe um k, tal que P(2^k) = 1 e 0<k<4, daí (2^k - 16) | 2 (ABSURDO !)

O caso em que a = -2 é análogo e não gera soluções !
Logo, Q(x) não tem raízes inteiras.
¡Villard!
-----Mensagem original-----
De: Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quarta-feira, 4 de Julho de 2001 13:17
Assunto: Re: Problema-Seleção


>Ola Pessoal,
>
>A sua linha de raciocinio e boa e ela pode nos conduzir a uma demonstracao
>sem maculas, desde que sejam feitos alguns ajustes. O ajuste principal
>precisa ser feito na passagem :
>
>"Daí não é possível a^q * (a^(p-q) - 1) | 2"
>
>Pode ocorrer que p=2 e q=1. Neste caso a*(a-1) | 2 NAO E UM ABSURDO, pois
>a=2 poderia satisfazer licitamente.
>
>Eu disse que :
>
>P(a)*P(a^2)*P(a^3)*P(a^4) = -1
>
>E um evidente absurdo para "a" inteiro, porque :
>
>1) Se a=0 ou a=1 , P(a)=P(a^2)=P(a^3)=P(a^4)
>E teremos [P(a)]^4 = -1 ( ABSURDO ! )
>2) Se a=-1, P(a)=P(a^3) e P(a^2)=P(a^4)
>E teremos [P(a)]^2 * [P(a^2)]^2 = -1 ( ABSURDO ! )
>3) se modulo(a) > 1,
>
>O produto P(a)*P(a^2)*P(a^3)*P(a^4) = -1 tera :
>
>A) um fator igual a -1 e tres iguais a 1 OU
>B) um fator igual a 1 e tres iguais a -1.
>
>Nos dois casos haverao "p" e "q" pertencentes a {1,2,3,4} tais
>que p=q+2 e :
>
>P(a^p) - P(a^q)= 2  ou  P(a^p) - P(a^q)= -2
>
>E, novamente, nos dois casos :
>a^q*(a^2 -1) | 2  => a^q*(a+1)*(a-1) | 2
>Ou seja : (a+1) e (a-1) dividem exatamente 2 ... Um ABSURDO :
>pois sabemos que modulo(a) > 1 !
>
>De forma mais prolixa, sabemos que deve ser :
>modulo(a) > 1.
>Se a>1 => a+1 >=3   => (a+1) divide exatamente 2 ( UM ABSURDO )
>Se a<1 => a-1 <=-3 => (a-1) divide exatamente 2  ( UM ABSURDO )
>
>Um abraco
>Paulo Santa Rita
>4,1227,04072001
>
>>From: "Rodrigo Villard Milet" <villard@vetor.com.br>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>Subject: Re: Problema-Seleção
>>Date: Tue, 3 Jul 2001 12:01:19 -0300
>>
>>E aí pessoal ?? Depois de tentar um pouco ontem o problema, consegui uma
>>solução que se segue abaixo :
>>(i) Seja a uma raiz inteira de Q(x). Logo,  P(a)*P(a^2)*P(a^3)*P(a^4)
= -1.
>>Como P(a^k) é inteiro para k inteiro, temos que há pelo menos um p, tal
que
>>P(a^p) = 1 e pelo menos um q tal que P(a^q) = -1 ( tudo isso com 1 <= p,q
>><=
>>4 e p diferente de q ) ;
>>(ii) Lembremos que, como P(x) é inteiro, se P(t) = m e P(s) = n, então
>>(t-s)
>>| (m-n) ( Verifique ! ) ;
>>(iii) Logo, (a^p - a^q) | 1 - (-1) = 2. Suponha que p>q. Logo, a^q *
>>(a^(p-q) - 1) | 2. Mas como já sabemos que 0 e +-1 não podem ser raízes,
>>então |x| >= 2. Daí não é possível a^q * (a^(p-q) - 1) | 2 ( facilmente
>>verificável ! ). O caso em que q>p é análogo.
>>  .: Logo, Q(x) não possui raízes inteiras !!
>>¡ Villard !
>>-----Mensagem original-----
>>De: Rodrigo Villard Milet <villard@vetor.com.br>
>>Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>Data: Segunda-feira, 2 de Julho de 2001 22:37
>>Assunto: Re: Problema-Seleção
>>
>>
>> >Essa sua pergunta (3) foi exatamente o que eu propus....
>> >¡Villard!
>> >-----Mensagem original-----
>> >De: Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com>
>> >Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> >Data: Segunda-feira, 2 de Julho de 2001 17:13
>> >Assunto: Re: Problema-Seleção
>> >
>> >
>> >>Ola Pessoal !
>> >>
>> >>Suponha que Q(x) tenha uma raiz inteira. Seja "i" esta raiz.
>> >>Entao : P(i)*P(i^2)*P(i^3)*P(i^4) + 1 = 0. Ou seja,
>> >>
>> >>P(i)*P(i^2)*P(i^3)*P(i^4) = -1
>> >>
>> >>Pode isso ? Ou isso e um evidente absurdo ?
>> >>
>> >>1) Se i=0 ou i=1 , P(i)=P(i^2)=P(i^3)=P(i^4)
>> >>E teremos [P(i)]^4 = -1 ( ABSURDO ! )
>> >>2) Se i=-1, P(i)=P(i^3) e P(i^2)=P(i^4)
>> >>E teremos [P(i)]^2 * [P(i^2)]^2 = -1 ( ABSURDO ! )
>> >>3) Por que nao pode ser modulo(i) > 1 ?
>> >>
>> >>Um abraco
>> >>Paulo Santa Rita
>> >>2,1607,02072001
>> >>
>> >>>From: "Rodrigo Villard Milet" <villard@vetor.com.br>
>> >>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> >>>To: "Obm" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> >>>Subject: Problema-Seleção
>> >>>Date: Sun, 1 Jul 2001 20:53:17 -0300
>> >>>
>> >>>Seja P(x) um polinômio de coeficientes inteiros e seja Q(x), tal que :
>> >>>    Q(x) = P(x)*P(x^2)*P(x^3)*P(x^4) + 1. Mostre que Q(x) não possui
>> >raízes
>> >>>inteiras.
>> >>>
>> >>>Pô, eu consegui mostrar que se Q(x) possuísse raízes inteiras, só
>>poderiam
>> >>>ser 2 ou -2, mas não consegui mostrar que essas não podem ser ..... Se
>> >>>alguém quiser, mando o que fiz...
>> >>>
>> >>>¡ Villard !
>> >>
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