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Re: Problema-Seleção

To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Subject: Re: Problema-Seleção
From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>
Date: Wed, 04 Jul 2001 17:47:10
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Ola Villard,

Esta foi a primeira ideia que me ocorreu, mas percebi imediatamente o furo 
em +-2, o que me obrigaria a seguir um atalho. Resolvi entao proceder como 
descrevi.

Uma outra forma de provar e usando as relacoes de Girard, mas implica em 
escrever muito e e muito feia.

Bom, ja que o papo aqui e polinomios :

Seja P(x) um polinomio de grau N com N raizes inteiras, nenhuma delas nula. 
Seja tambem Q(x)=P(x)*P(x^2)*P(x^3)*P(x^4)*P(x^5) - 1. O que se pode falar 
sobre as raizes de Q(x) ?

Um abraco
Paulo Santa Rita
4,1446,04072001


>From: "Rodrigo Villard Milet" <villard@vetor.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: Problema-Seleção
>Date: Wed, 4 Jul 2001 13:59:22 -0300
>
>Na verdade eu já tinha feito de outra forma, mas só não tinha conseguido
>mostrar que +-2 não podia... foi assim :
>Seja a raiz inteira de Q(x). Daí, olhe os P`s, mod(a). Como sabemos, no
>mínimo um dos P`s é 1 e no mínimo um é -1, logo :
>  a(n) = 1 mod(a)
>  a(n) = -1 mod(a) , onde a(n) é o termo independente de P(x). Subtraindo 
>uma
>da outra : 2 = 0 mod(a), logo, temos a = +-1 ou +-2. COmo +-1 não pode,
>temos que a = +-2.
>  Vamos mostrar que não pode p/ a = 2 :
>(i) P(16) = 1
>  Daí, existe um k, tal que P(2^k) = -1 e 0<k<4. Daí, (16 - 2^k) | 2 
>(ABSURDO
>!)
>(ii) P(16) = -1
>  Daí existe um k, tal que P(2^k) = 1 e 0<k<4, daí (2^k - 16) | 2 (ABSURDO 
>!)
>
>O caso em que a = -2 é análogo e não gera soluções !
>Logo, Q(x) não tem raízes inteiras.
>¡Villard!
>-----Mensagem original-----
>De: Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com>
>Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Data: Quarta-feira, 4 de Julho de 2001 13:17
>Assunto: Re: Problema-Seleção
>
>
> >Ola Pessoal,
> >
> >A sua linha de raciocinio e boa e ela pode nos conduzir a uma 
>demonstracao
> >sem maculas, desde que sejam feitos alguns ajustes. O ajuste principal
> >precisa ser feito na passagem :
> >
> >"Daí não é possível a^q * (a^(p-q) - 1) | 2"
> >
> >Pode ocorrer que p=2 e q=1. Neste caso a*(a-1) | 2 NAO E UM ABSURDO, pois
> >a=2 poderia satisfazer licitamente.
> >
> >Eu disse que :
> >
> >P(a)*P(a^2)*P(a^3)*P(a^4) = -1
> >
> >E um evidente absurdo para "a" inteiro, porque :
> >
> >1) Se a=0 ou a=1 , P(a)=P(a^2)=P(a^3)=P(a^4)
> >E teremos [P(a)]^4 = -1 ( ABSURDO ! )
> >2) Se a=-1, P(a)=P(a^3) e P(a^2)=P(a^4)
> >E teremos [P(a)]^2 * [P(a^2)]^2 = -1 ( ABSURDO ! )
> >3) se modulo(a) > 1,
> >
> >O produto P(a)*P(a^2)*P(a^3)*P(a^4) = -1 tera :
> >
> >A) um fator igual a -1 e tres iguais a 1 OU
> >B) um fator igual a 1 e tres iguais a -1.
> >
> >Nos dois casos haverao "p" e "q" pertencentes a {1,2,3,4} tais
> >que p=q+2 e :
> >
> >P(a^p) - P(a^q)= 2  ou  P(a^p) - P(a^q)= -2
> >
> >E, novamente, nos dois casos :
> >a^q*(a^2 -1) | 2  => a^q*(a+1)*(a-1) | 2
> >Ou seja : (a+1) e (a-1) dividem exatamente 2 ... Um ABSURDO :
> >pois sabemos que modulo(a) > 1 !
> >
> >De forma mais prolixa, sabemos que deve ser :
> >modulo(a) > 1.
> >Se a>1 => a+1 >=3   => (a+1) divide exatamente 2 ( UM ABSURDO )
> >Se a<1 => a-1 <=-3 => (a-1) divide exatamente 2  ( UM ABSURDO )
> >
> >Um abraco
> >Paulo Santa Rita
> >4,1227,04072001
> >
> >>From: "Rodrigo Villard Milet" <villard@vetor.com.br>
> >>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >>Subject: Re: Problema-Seleção
> >>Date: Tue, 3 Jul 2001 12:01:19 -0300
> >>
> >>E aí pessoal ?? Depois de tentar um pouco ontem o problema, consegui uma
> >>solução que se segue abaixo :
> >>(i) Seja a uma raiz inteira de Q(x). Logo,  P(a)*P(a^2)*P(a^3)*P(a^4)
>= -1.
> >>Como P(a^k) é inteiro para k inteiro, temos que há pelo menos um p, tal
>que
> >>P(a^p) = 1 e pelo menos um q tal que P(a^q) = -1 ( tudo isso com 1 <= 
>p,q
> >><=
> >>4 e p diferente de q ) ;
> >>(ii) Lembremos que, como P(x) é inteiro, se P(t) = m e P(s) = n, então
> >>(t-s)
> >>| (m-n) ( Verifique ! ) ;
> >>(iii) Logo, (a^p - a^q) | 1 - (-1) = 2. Suponha que p>q. Logo, a^q *
> >>(a^(p-q) - 1) | 2. Mas como já sabemos que 0 e +-1 não podem ser raízes,
> >>então |x| >= 2. Daí não é possível a^q * (a^(p-q) - 1) | 2 ( facilmente
> >>verificável ! ). O caso em que q>p é análogo.
> >>  .: Logo, Q(x) não possui raízes inteiras !!
> >>¡ Villard !
> >>-----Mensagem original-----
> >>De: Rodrigo Villard Milet <villard@vetor.com.br>
> >>Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >>Data: Segunda-feira, 2 de Julho de 2001 22:37
> >>Assunto: Re: Problema-Seleção
> >>
> >>
> >> >Essa sua pergunta (3) foi exatamente o que eu propus....
> >> >¡Villard!
> >> >-----Mensagem original-----
> >> >De: Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com>
> >> >Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >> >Data: Segunda-feira, 2 de Julho de 2001 17:13
> >> >Assunto: Re: Problema-Seleção
> >> >
> >> >
> >> >>Ola Pessoal !
> >> >>
> >> >>Suponha que Q(x) tenha uma raiz inteira. Seja "i" esta raiz.
> >> >>Entao : P(i)*P(i^2)*P(i^3)*P(i^4) + 1 = 0. Ou seja,
> >> >>
> >> >>P(i)*P(i^2)*P(i^3)*P(i^4) = -1
> >> >>
> >> >>Pode isso ? Ou isso e um evidente absurdo ?
> >> >>
> >> >>1) Se i=0 ou i=1 , P(i)=P(i^2)=P(i^3)=P(i^4)
> >> >>E teremos [P(i)]^4 = -1 ( ABSURDO ! )
> >> >>2) Se i=-1, P(i)=P(i^3) e P(i^2)=P(i^4)
> >> >>E teremos [P(i)]^2 * [P(i^2)]^2 = -1 ( ABSURDO ! )
> >> >>3) Por que nao pode ser modulo(i) > 1 ?
> >> >>
> >> >>Um abraco
> >> >>Paulo Santa Rita
> >> >>2,1607,02072001
> >> >>
> >> >>>From: "Rodrigo Villard Milet" <villard@vetor.com.br>
> >> >>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >> >>>To: "Obm" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >> >>>Subject: Problema-Seleção
> >> >>>Date: Sun, 1 Jul 2001 20:53:17 -0300
> >> >>>
> >> >>>Seja P(x) um polinômio de coeficientes inteiros e seja Q(x), tal que 
>:
> >> >>>    Q(x) = P(x)*P(x^2)*P(x^3)*P(x^4) + 1. Mostre que Q(x) não possui
> >> >raízes
> >> >>>inteiras.
> >> >>>
> >> >>>Pô, eu consegui mostrar que se Q(x) possuísse raízes inteiras, só
> >>poderiam
> >> >>>ser 2 ou -2, mas não consegui mostrar que essas não podem ser ..... 
>Se
> >> >>>alguém quiser, mando o que fiz...
> >> >>>
> >> >>>¡ Villard !
> >> >>
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