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Re: Problema-Seleção
Ola Pessoal,
A sua linha de raciocinio e boa e ela pode nos conduzir a uma demonstracao
sem maculas, desde que sejam feitos alguns ajustes. O ajuste principal
precisa ser feito na passagem :
"Daí não é possível a^q * (a^(p-q) - 1) | 2"
Pode ocorrer que p=2 e q=1. Neste caso a*(a-1) | 2 NAO E UM ABSURDO, pois
a=2 poderia satisfazer licitamente.
Eu disse que :
P(a)*P(a^2)*P(a^3)*P(a^4) = -1
E um evidente absurdo para "a" inteiro, porque :
1) Se a=0 ou a=1 , P(a)=P(a^2)=P(a^3)=P(a^4)
E teremos [P(a)]^4 = -1 ( ABSURDO ! )
2) Se a=-1, P(a)=P(a^3) e P(a^2)=P(a^4)
E teremos [P(a)]^2 * [P(a^2)]^2 = -1 ( ABSURDO ! )
3) se modulo(a) > 1,
O produto P(a)*P(a^2)*P(a^3)*P(a^4) = -1 tera :
A) um fator igual a -1 e tres iguais a 1 OU
B) um fator igual a 1 e tres iguais a -1.
Nos dois casos haverao "p" e "q" pertencentes a {1,2,3,4} tais
que p=q+2 e :
P(a^p) - P(a^q)= 2 ou P(a^p) - P(a^q)= -2
E, novamente, nos dois casos :
a^q*(a^2 -1) | 2 => a^q*(a+1)*(a-1) | 2
Ou seja : (a+1) e (a-1) dividem exatamente 2 ... Um ABSURDO :
pois sabemos que modulo(a) > 1 !
De forma mais prolixa, sabemos que deve ser :
modulo(a) > 1.
Se a>1 => a+1 >=3 => (a+1) divide exatamente 2 ( UM ABSURDO )
Se a<1 => a-1 <=-3 => (a-1) divide exatamente 2 ( UM ABSURDO )
Um abraco
Paulo Santa Rita
4,1227,04072001
>From: "Rodrigo Villard Milet" <villard@vetor.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: Problema-Seleção
>Date: Tue, 3 Jul 2001 12:01:19 -0300
>
>E aí pessoal ?? Depois de tentar um pouco ontem o problema, consegui uma
>solução que se segue abaixo :
>(i) Seja a uma raiz inteira de Q(x). Logo, P(a)*P(a^2)*P(a^3)*P(a^4) = -1.
>Como P(a^k) é inteiro para k inteiro, temos que há pelo menos um p, tal que
>P(a^p) = 1 e pelo menos um q tal que P(a^q) = -1 ( tudo isso com 1 <= p,q
><=
>4 e p diferente de q ) ;
>(ii) Lembremos que, como P(x) é inteiro, se P(t) = m e P(s) = n, então
>(t-s)
>| (m-n) ( Verifique ! ) ;
>(iii) Logo, (a^p - a^q) | 1 - (-1) = 2. Suponha que p>q. Logo, a^q *
>(a^(p-q) - 1) | 2. Mas como já sabemos que 0 e +-1 não podem ser raízes,
>então |x| >= 2. Daí não é possível a^q * (a^(p-q) - 1) | 2 ( facilmente
>verificável ! ). O caso em que q>p é análogo.
> .: Logo, Q(x) não possui raízes inteiras !!
>¡ Villard !
>-----Mensagem original-----
>De: Rodrigo Villard Milet <villard@vetor.com.br>
>Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Data: Segunda-feira, 2 de Julho de 2001 22:37
>Assunto: Re: Problema-Seleção
>
>
> >Essa sua pergunta (3) foi exatamente o que eu propus....
> >¡Villard!
> >-----Mensagem original-----
> >De: Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com>
> >Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Data: Segunda-feira, 2 de Julho de 2001 17:13
> >Assunto: Re: Problema-Seleção
> >
> >
> >>Ola Pessoal !
> >>
> >>Suponha que Q(x) tenha uma raiz inteira. Seja "i" esta raiz.
> >>Entao : P(i)*P(i^2)*P(i^3)*P(i^4) + 1 = 0. Ou seja,
> >>
> >>P(i)*P(i^2)*P(i^3)*P(i^4) = -1
> >>
> >>Pode isso ? Ou isso e um evidente absurdo ?
> >>
> >>1) Se i=0 ou i=1 , P(i)=P(i^2)=P(i^3)=P(i^4)
> >>E teremos [P(i)]^4 = -1 ( ABSURDO ! )
> >>2) Se i=-1, P(i)=P(i^3) e P(i^2)=P(i^4)
> >>E teremos [P(i)]^2 * [P(i^2)]^2 = -1 ( ABSURDO ! )
> >>3) Por que nao pode ser modulo(i) > 1 ?
> >>
> >>Um abraco
> >>Paulo Santa Rita
> >>2,1607,02072001
> >>
> >>>From: "Rodrigo Villard Milet" <villard@vetor.com.br>
> >>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >>>To: "Obm" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >>>Subject: Problema-Seleção
> >>>Date: Sun, 1 Jul 2001 20:53:17 -0300
> >>>
> >>>Seja P(x) um polinômio de coeficientes inteiros e seja Q(x), tal que :
> >>> Q(x) = P(x)*P(x^2)*P(x^3)*P(x^4) + 1. Mostre que Q(x) não possui
> >raízes
> >>>inteiras.
> >>>
> >>>Pô, eu consegui mostrar que se Q(x) possuísse raízes inteiras, só
>poderiam
> >>>ser 2 ou -2, mas não consegui mostrar que essas não podem ser ..... Se
> >>>alguém quiser, mando o que fiz...
> >>>
> >>>¡ Villard !
> >>
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> >
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