Re: Problema-Seleção

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

E aí pessoal ?? Depois de tentar um pouco ontem o problema, consegui uma
solução que se segue abaixo :
(i) Seja a uma raiz inteira de Q(x). Logo,  P(a)*P(a^2)*P(a^3)*P(a^4) = -1.
Como P(a^k) é inteiro para k inteiro, temos que há pelo menos um p, tal que
P(a^p) = 1 e pelo menos um q tal que P(a^q) = -1 ( tudo isso com 1 <= p,q <=
4 e p diferente de q ) ;
(ii) Lembremos que, como P(x) é inteiro, se P(t) = m e P(s) = n, então (t-s)
| (m-n) ( Verifique ! ) ;
(iii) Logo, (a^p - a^q) | 1 - (-1) = 2. Suponha que p>q. Logo, a^q *
(a^(p-q) - 1) | 2. Mas como já sabemos que 0 e +-1 não podem ser raízes,
então |x| >= 2. Daí não é possível a^q * (a^(p-q) - 1) | 2 ( facilmente
verificável ! ). O caso em que q>p é análogo.
 .: Logo, Q(x) não possui raízes inteiras !!
¡ Villard !
-----Mensagem original-----
De: Rodrigo Villard Milet <villard@vetor.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Segunda-feira, 2 de Julho de 2001 22:37
Assunto: Re: Problema-Seleção


>Essa sua pergunta (3) foi exatamente o que eu propus....
>¡Villard!
>-----Mensagem original-----
>De: Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com>
>Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Data: Segunda-feira, 2 de Julho de 2001 17:13
>Assunto: Re: Problema-Seleção
>
>
>>Ola Pessoal !
>>
>>Suponha que Q(x) tenha uma raiz inteira. Seja "i" esta raiz.
>>Entao : P(i)*P(i^2)*P(i^3)*P(i^4) + 1 = 0. Ou seja,
>>
>>P(i)*P(i^2)*P(i^3)*P(i^4) = -1
>>
>>Pode isso ? Ou isso e um evidente absurdo ?
>>
>>1) Se i=0 ou i=1 , P(i)=P(i^2)=P(i^3)=P(i^4)
>>E teremos [P(i)]^4 = -1 ( ABSURDO ! )
>>2) Se i=-1, P(i)=P(i^3) e P(i^2)=P(i^4)
>>E teremos [P(i)]^2 * [P(i^2)]^2 = -1 ( ABSURDO ! )
>>3) Por que nao pode ser modulo(i) > 1 ?
>>
>>Um abraco
>>Paulo Santa Rita
>>2,1607,02072001
>>
>>>From: "Rodrigo Villard Milet" <villard@vetor.com.br>
>>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>To: "Obm" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>>Subject: Problema-Seleção
>>>Date: Sun, 1 Jul 2001 20:53:17 -0300
>>>
>>>Seja P(x) um polinômio de coeficientes inteiros e seja Q(x), tal que :
>>>    Q(x) = P(x)*P(x^2)*P(x^3)*P(x^4) + 1. Mostre que Q(x) não possui
>raízes
>>>inteiras.
>>>
>>>Pô, eu consegui mostrar que se Q(x) possuísse raízes inteiras, só
poderiam
>>>ser 2 ou -2, mas não consegui mostrar que essas não podem ser ..... Se
>>>alguém quiser, mando o que fiz...
>>>
>>>¡ Villard !
>>
>>_________________________________________________________________________
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>