Re: OBM 1 Fase.

["Marcelo Rufino de Oliveira" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

   A um tempo atr�s discutiu-se nesta lista sobre os assuntos que deveriam
ser cobrados na OBM. Agora eu gostaria de levantar um outra discuss�o, que �
quanto ao n�vel de dificuldade da primeira fase da OBM. Na minha opini�o, a
1a. fase deste ano veio mais dif�cil que a de 2000, e esta, por sua vez,
estava mais dif�cil que a de 1999. Particularmente os resultados deste ano
dos n�veis 1 e 2 no col�gio em que trabalho (fizeram uns 50 alunos nestes
n�veis) foram um completo desastre. Alguns alunos que j� tinham participado
da OBM anteriormente acharam a prova deste ano muito mais dif�cil e,
realmente, depois que eu acabei de corrigir os cart�es resposta destes
alunos pude comprovar que suas notas cairam em rela��o ao ano passado.
Acredito que as provas dos n�veis 1 e 2 estavam acess�veis a uma porcentagem
menor de alunos participantes do que a prova do n�vel 3, que tamb�m estava
bem mais dif�cil que a de 2000. Como o n�mero de participantes na OBM vem
aumentando vertiginosamente nestes �ltimos 3 anos, temos a cada um n�mero
grande de alunos que participam pela primeira vez, e estes s�o os que
apresentam os piores resultados, e este resultado ruim de cara acaba por
desestimular participa��es futuras. Pude notar isto no meio col�gio, pois
muitos alunos que estavam na oitava s�rie ou no primeiro ano em 2000 n�o
quiseram participar este ano devido a um resultado ruim alcan�ado
anteriormente. Evidentemente o n�mero de participantes vem aumentando, mas
acredito que isto ocorre mais em fun��o do trabalho �rduo de muitos
coordenadores em expandir o n�mero de escolas cadastradas no seu estado do
que a fascina��o que a prova da primeita fase provoca, fascina��o esta que
eu abservei pela �ltima vez em 1998, certamente a mais f�cil dos �ltimos 5
anos.

   Temos que ter cuidado em n�o cair na situa��o que acontece hoje com a
Olimp�ada de Maio, cuja dificuldade aumentou muito em rela��o aos primeiros
anos de disputa, com a maioria dos alunos alcan�ando notas muito baixas e
n�o querendo mais participar de outras olimp�adas (principalmente a OBM).
Chegamos ao ponto da Coordena��o Nacional da OBM aconselhar os coordenadores
regionais a aplicarem a Olimp�ada de Maio somente a alunos premiados na OBM
ou em olimp�adas regionais, n�o podemos permitir que isto aconte�a com a 1a.
fase da OBM. Ressalto que estou fazendo uma cr�tica construtiva, no sentido
de melhorar o n�vel geral da prova, espero que ningu�m tome o que escrevi
como uma simples reclama��o!

   Para confirmar o que estou falando, andei comparando algumas quest�es de
primeira fase da OBM (n�vel 3) com a da segunda fase dos �ltimos tr�s anos e
achei que o n�vel de dificuldade de boa parte das quest�es das duas fases �
muito parecido. Como exemplo, colocarei abaixo algumas quest�es de 1a. e 2a.
fase de 1999, 2000 e 2001 e gostaria de saber se outros participantes desta
lista tamb�m acham que o n�vel destas quest�es � semelhante ou n�o. Na minha
opini�o um bom aluno teria a mesma dificuldade em resolver as quest�es
abaixo, independente da fase.



1a. fase:

(2000) H� tr�s cartas viradas sobre uma mesa. Sabe-se que em cada  uma
delas  est�  escrito  um
n�mero inteiro positivo. S�o dadas a Carlos, Samuel e Tom�s as seguintes
informa��es:
i) todos os n�meros escritos nas cartas s�o diferentes;
ii) a soma dos n�meros � 13;
iii) os n�meros est�o em ordem crescente, da esquerda para a direita.
Primeiro, Carlos olha o n�mero na carta da esquerda e diz: "N�o tenho
informa��es suficientes para determinar os outros dois n�meros." Em seguida,
Tom�s olha o n�mero na carta da direita e diz: "N�o tenho informa��es
suficientes para determinar os outros dois n�meros." Por fim, Samuel olha o
n�mero na carta do meio e diz: "N�o tenho informa��es suficientes para
determinar os outros dois n�meros." Sabendo que cada um deles sabe que os
outros dois s�o inteligentes e escuta os coment�rios dos outros, qual � o
n�mero da carta do meio?
A) 2  B) 3  C) 4  D) 5
E) N�o h� informa��es suficientes para determinar o n�mero.

(2000) Quantos n�meros de tr�s algarismos (que n�o come�am com 0) possuem um
algarismo
que � a m�dia aritm�tica dos outros dois?
A) 121  B) 117  C) 112  D) 115  E) 105

(2000) De  Itacimirim  a  Salvador,  pela  estrada  do  Coco,  s�o 60 km. �s
11 horas, a 15 km de Salvador, d�-se um acidente que provoca um
engarrafamento, que cresce � velocidade de 4 km/h, no sentido de Itacimirim.
A que horas, aproximadamente, devemos sair de Itacimirim para chegar a
Salvador ao meio-dia, sabendo que viajamos a 60 km/h, exceto na zona de
engarrafamento, onde a velocidade � 6 km/h?
A) 10h43min B) 10h17min C) 10h48min D) 10h53min E) 11h01min

(2000) Escrevemos  uma  lista  com  todos  os  n�meros inteiros de 1 a 30,
inclusive. Em seguida, eliminamos alguns destes n�meros de forma que n�o
sobrem dois n�meros tais que um seja o dobro do outro. Qual � a quantidade
m�xima de inteiros que podem permanecer na lista?
A) 15  B) 18  C) 19  D) 20  E) 21

(2001) Para cada ponto pertencente ao interior e aos lados de um tri�ngulo
acut�ngulo ABC, considere a soma de suas dist�ncias aos tr�s lados do
tri�ngulo. O valor m�ximo desta soma � igual
A) � m�dia aritm�tica das 3 alturas do tri�ngulo.
B) ao maior lado do tri�ngulo.
C) � maior altura do tri�ngulo
D) ao triplo do raio do c�rculo inscrito no tri�ngulo.
E) ao di�metro do c�rculo circunscrito ao tri�ngulo.

(2001) Quantos d�gitos tem o menor quadrado perfeito cujos quatro �ltimos
d�gitos s�o 2001?
A) 9  B) 5  C) 6  D) 7  E) 8

(2001) 18. Seja f(x) = x^2 - 3x + 4. Quantas solu��es reais tem a equa��o
f(f(f(...f(x)))) = 2
(onde f � aplicada 2001 vezes)?
A) 0  B) 1  C) 2  D) 2001 E) 22001

(2001) 20. Seja ABCD um trap�zio ret�ngulo cujos �nicos �ngulos retos s�o A
e B. M e N s�o os pontos   m�dios  de  AB  e  CD,   respectivamente.  A
respeito  dos  �ngulos alfa = ANB e beta = CMD, podemos dizer que:
A) alfa < beta
B) alfa > beta
C) alfa = beta
D) pode ocorrer qualquer uma das situa��es das alternativas A), B) e C).
E) o �ngulo alfa � reto




2a. fase:

(1999) Nos extremos de um di�metro de um c�rculo, escreve-se o n�mero 1
(primeiro passo) . A seguir, cada semic�rculo � dividido ao meio e em cada
um dos seus pontos m�dios escreve-se a soma dos n�meros que est�o nos
extremos do semic�rculo (segundo passo) . A seguir, cada quarto de c�rculo �
dividido ao meio e em cada um dos seus pontos m�dios coloca-se a soma dos
n�meros que est�o nos extremos de cada arco (terceiro passo). Procede-se,
assim, sucessivamente: sempre cada arco � dividido ao meio e em seu ponto
m�dio � escrita a soma dos n�meros que est�o em seus extremos.
Determinar a soma de todos os n�meros escritos ap�s 1999 passos.

(1999) Determine todos os inteiros positivos n para os quais � poss�vel
montarmos um ret�ngulo 9x10 usando pe�as 1xn.

(1999) Encontre as solu��es inteiras de  x^3 - y^3 = 999.

(2000) Qual � o menor inteiro positivo que � o dobro de um cubo e o
qu�ntuplo de um quadrado?

(2000) Para efetuar um sorteio entre os n alunos de uma escola (n > 1) se
adota o seguinte procedimento. Os alunos s�o colocados em roda e inicia-se
uma contagem da forma "um, DOIS, um, DOIS,...". Cada vez que se diz DOIS o
aluno correspondente � eliminado e sai da roda. A contagem prossegue at� que
sobre um �nico aluno, que � o escolhido.
a)  Para que valores de n o aluno escolhido � aquele por quem come�ou o
sorteio?
b) Se h� 192 alunos na roda inicial, qual � a posi��o na roda do aluno
escolhido?

(2000) O trap�zio ABCD tem bases AB e CD. O lado DA mede x e o lado BC mede
2x. A soma dos �ngulos DAB e ABC � 120o.  Determine o �ngulo DAB.



At� mais,
Marcelo Rufino de Oliveira
Coordenador Regional da Olimp�ada Brasileira de Matem�tica no Estado do Par�




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From: Olimpiada Brasileira de Matematica <obm@impa.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Monday, June 11, 2001 8:53 PM
Subject: OBM 1 Fase.


> Caros amigos da lista,
>
> Ja' esta' publicada na home-page a prova da
> 1 Fase com o gabarito.
>
> Abracos, Nelly.
>
>