Re: OBM 1 Fase.

["Marcelo Rufino de Oliveira" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

   A um tempo atrás discutiu-se nesta lista sobre os assuntos que deveriam
ser cobrados na OBM. Agora eu gostaria de levantar um outra discussão, que é
quanto ao nível de dificuldade da primeira fase da OBM. Na minha opinião, a
1a. fase deste ano veio mais difícil que a de 2000, e esta, por sua vez,
estava mais difícil que a de 1999. Particularmente os resultados deste ano
dos níveis 1 e 2 no colégio em que trabalho (fizeram uns 50 alunos nestes
níveis) foram um completo desastre. Alguns alunos que já tinham participado
da OBM anteriormente acharam a prova deste ano muito mais difícil e,
realmente, depois que eu acabei de corrigir os cartões resposta destes
alunos pude comprovar que suas notas cairam em relação ao ano passado.
Acredito que as provas dos níveis 1 e 2 estavam acessíveis a uma porcentagem
menor de alunos participantes do que a prova do nível 3, que também estava
bem mais difícil que a de 2000. Como o número de participantes na OBM vem
aumentando vertiginosamente nestes últimos 3 anos, temos a cada um número
grande de alunos que participam pela primeira vez, e estes são os que
apresentam os piores resultados, e este resultado ruim de cara acaba por
desestimular participações futuras. Pude notar isto no meio colégio, pois
muitos alunos que estavam na oitava série ou no primeiro ano em 2000 não
quiseram participar este ano devido a um resultado ruim alcançado
anteriormente. Evidentemente o número de participantes vem aumentando, mas
acredito que isto ocorre mais em função do trabalho árduo de muitos
coordenadores em expandir o número de escolas cadastradas no seu estado do
que a fascinação que a prova da primeita fase provoca, fascinação esta que
eu abservei pela última vez em 1998, certamente a mais fácil dos últimos 5
anos.

   Temos que ter cuidado em não cair na situação que acontece hoje com a
Olimpíada de Maio, cuja dificuldade aumentou muito em relação aos primeiros
anos de disputa, com a maioria dos alunos alcançando notas muito baixas e
não querendo mais participar de outras olimpíadas (principalmente a OBM).
Chegamos ao ponto da Coordenação Nacional da OBM aconselhar os coordenadores
regionais a aplicarem a Olimpíada de Maio somente a alunos premiados na OBM
ou em olimpíadas regionais, não podemos permitir que isto aconteça com a 1a.
fase da OBM. Ressalto que estou fazendo uma crítica construtiva, no sentido
de melhorar o nível geral da prova, espero que ninguém tome o que escrevi
como uma simples reclamação!

   Para confirmar o que estou falando, andei comparando algumas questões de
primeira fase da OBM (nível 3) com a da segunda fase dos últimos três anos e
achei que o nível de dificuldade de boa parte das questões das duas fases é
muito parecido. Como exemplo, colocarei abaixo algumas questões de 1a. e 2a.
fase de 1999, 2000 e 2001 e gostaria de saber se outros participantes desta
lista também acham que o nível destas questões é semelhante ou não. Na minha
opinião um bom aluno teria a mesma dificuldade em resolver as questões
abaixo, independente da fase.



1a. fase:

(2000) Há três cartas viradas sobre uma mesa. Sabe-se que em cada  uma
delas  está  escrito  um
número inteiro positivo. São dadas a Carlos, Samuel e Tomás as seguintes
informações:
i) todos os números escritos nas cartas são diferentes;
ii) a soma dos números é 13;
iii) os números estão em ordem crescente, da esquerda para a direita.
Primeiro, Carlos olha o número na carta da esquerda e diz: "Não tenho
informações suficientes para determinar os outros dois números." Em seguida,
Tomás olha o número na carta da direita e diz: "Não tenho informações
suficientes para determinar os outros dois números." Por fim, Samuel olha o
número na carta do meio e diz: "Não tenho informações suficientes para
determinar os outros dois números." Sabendo que cada um deles sabe que os
outros dois são inteligentes e escuta os comentários dos outros, qual é o
número da carta do meio?
A) 2  B) 3  C) 4  D) 5
E) Não há informações suficientes para determinar o número.

(2000) Quantos números de três algarismos (que não começam com 0) possuem um
algarismo
que é a média aritmética dos outros dois?
A) 121  B) 117  C) 112  D) 115  E) 105

(2000) De  Itacimirim  a  Salvador,  pela  estrada  do  Coco,  são 60 km. Às
11 horas, a 15 km de Salvador, dá-se um acidente que provoca um
engarrafamento, que cresce à velocidade de 4 km/h, no sentido de Itacimirim.
A que horas, aproximadamente, devemos sair de Itacimirim para chegar a
Salvador ao meio-dia, sabendo que viajamos a 60 km/h, exceto na zona de
engarrafamento, onde a velocidade é 6 km/h?
A) 10h43min B) 10h17min C) 10h48min D) 10h53min E) 11h01min

(2000) Escrevemos  uma  lista  com  todos  os  números inteiros de 1 a 30,
inclusive. Em seguida, eliminamos alguns destes números de forma que não
sobrem dois números tais que um seja o dobro do outro. Qual é a quantidade
máxima de inteiros que podem permanecer na lista?
A) 15  B) 18  C) 19  D) 20  E) 21

(2001) Para cada ponto pertencente ao interior e aos lados de um triângulo
acutângulo ABC, considere a soma de suas distâncias aos três lados do
triângulo. O valor máximo desta soma é igual
A) à média aritmética das 3 alturas do triângulo.
B) ao maior lado do triângulo.
C) à maior altura do triângulo
D) ao triplo do raio do círculo inscrito no triângulo.
E) ao diâmetro do círculo circunscrito ao triângulo.

(2001) Quantos dígitos tem o menor quadrado perfeito cujos quatro últimos
dígitos são 2001?
A) 9  B) 5  C) 6  D) 7  E) 8

(2001) 18. Seja f(x) = x^2 - 3x + 4. Quantas soluções reais tem a equação
f(f(f(...f(x)))) = 2
(onde f é aplicada 2001 vezes)?
A) 0  B) 1  C) 2  D) 2001 E) 22001

(2001) 20. Seja ABCD um trapézio retângulo cujos únicos ângulos retos são A
e B. M e N são os pontos   médios  de  AB  e  CD,   respectivamente.  A
respeito  dos  ângulos alfa = ANB e beta = CMD, podemos dizer que:
A) alfa < beta
B) alfa > beta
C) alfa = beta
D) pode ocorrer qualquer uma das situações das alternativas A), B) e C).
E) o ângulo alfa é reto




2a. fase:

(1999) Nos extremos de um diâmetro de um círculo, escreve-se o número 1
(primeiro passo) . A seguir, cada semicírculo é dividido ao meio e em cada
um dos seus pontos médios escreve-se a soma dos números que estão nos
extremos do semicírculo (segundo passo) . A seguir, cada quarto de círculo é
dividido ao meio e em cada um dos seus pontos médios coloca-se a soma dos
números que estão nos extremos de cada arco (terceiro passo). Procede-se,
assim, sucessivamente: sempre cada arco é dividido ao meio e em seu ponto
médio é escrita a soma dos números que estão em seus extremos.
Determinar a soma de todos os números escritos após 1999 passos.

(1999) Determine todos os inteiros positivos n para os quais é possível
montarmos um retângulo 9x10 usando peças 1xn.

(1999) Encontre as soluções inteiras de  x^3 - y^3 = 999.

(2000) Qual é o menor inteiro positivo que é o dobro de um cubo e o
quíntuplo de um quadrado?

(2000) Para efetuar um sorteio entre os n alunos de uma escola (n > 1) se
adota o seguinte procedimento. Os alunos são colocados em roda e inicia-se
uma contagem da forma "um, DOIS, um, DOIS,...". Cada vez que se diz DOIS o
aluno correspondente é eliminado e sai da roda. A contagem prossegue até que
sobre um único aluno, que é o escolhido.
a)  Para que valores de n o aluno escolhido é aquele por quem começou o
sorteio?
b) Se há 192 alunos na roda inicial, qual é a posição na roda do aluno
escolhido?

(2000) O trapézio ABCD tem bases AB e CD. O lado DA mede x e o lado BC mede
2x. A soma dos ângulos DAB e ABC é 120o.  Determine o ângulo DAB.



Até mais,
Marcelo Rufino de Oliveira
Coordenador Regional da Olimpíada Brasileira de Matemática no Estado do Pará




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From: Olimpiada Brasileira de Matematica <obm@impa.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Monday, June 11, 2001 8:53 PM
Subject: OBM 1 Fase.


> Caros amigos da lista,
>
> Ja' esta' publicada na home-page a prova da
> 1 Fase com o gabarito.
>
> Abracos, Nelly.
>
>