Sent: Monday, June 11, 2001 3:36 AM
Subject: RES: ???
Estou enviando soluções para a primeira e a terceira.
Desculpem-me por quaisquer eventuais erros.
Ah,
Eder, essas questões que você tem mandado são questões muito boas... De onde
você as tira??
flw,
Einstein
Terceira questão: Determine as funções f : R - {0,1}
==> R tais que f(x) + f(1/(1-x)) =x para todo x do
domínio de f.
Solução:
Uma
questão que usa uma idéia parecida com essa se encontra na olimpíada
Iberoamericana de 87, se eu não me engano.
Primeiramente substitua x por t,
teremos:
f(t)
+ f(1/(1-t))
=t para
t diferente de 1
Agora tome x como sendo 1/(1-t),
teremos:
f(1/(1-t))+ f((t-1)/t)
=1/(1-t) para
t diferente de 0 e 1
E por último tome x igual a (t-1)/t,
teremos:
f((t-1)/t) + f(t) =
(t-1)/t para
t diferente de 0
somando as três
teremos:
f(t) + f(1/(1-t)) + f(1/(1-t))+ f((t-1)/t) + f((t-1)/t) +
f(t) =
(t-1)/t + 1/(1-t) +
t
Daí:
2*(
f(t) +
f(1/(1-t)) + f((t-1)/t) ) = (t-1)/t + 1/(1-t) + t
E:
f(t) + f(1/(1-t)) + f((t-1)/t) =
( (t-1)/t + 1/(1-t) +
t )/2
substituindo na segunda teremos:
f(t)= ( (t-1)/t + t - 1/(1-t) )/2
Para
todo t real diferente de 0 e 1.
Primeira questão: Num círculo de diâmetro AB uma
corda CD é perpendicular a AB e M é um ponto do círculo.MD e MC interceptam AB
em E e F.Provar que E e F são conjugados harmônicos em relação a
AB.
Conjugados harmônicos em relação a AB são
pontos P e Q tais que: k=PA/PB=QA/QB.
Sabendo disso, tente provar a primeira
questão
Se
quizer ver a solução continue a ler...
SOLUÇÂO:
Bom... Como A é o ponto médio do arco CD que não
contém B, implica que a bissetriz do ângulo CMD é AM. Chame CMA=AMD=x. Daí
como AB é diâmetro implica que AMB=90 graus, ou
seja,BMD=90-x
Daí
como CMF é uma reta: FMB=BMD=90-x, o que implica que BM é bissetriz
do angulo FMD.
Olhando para o triângulo MEF, BM é sua bissetriz
interna e AM sua bissetriz externa. Pelos teoremas das bissetrizes interna e
externa teremos que:
AF/AE=MF/ME=BF/BE
E
daí segue o resultado.
Alguém poderia me ajudar com as seguintes questões?
" 1)Num círculo de diâmetro AB uma corda CD é perpendicular a AB e
M é um ponto do círculo.MD e MC interceptam AB em E e F.Provar que E e
F são conjugados harmônicos em relação a AB."
Eu nem ao menos sei o que significa conjugado harmônico...
"2) Mostre que a função f : R+ ==>R dada por f(x)=cos(sqrtx) não
é periódica. "
"3) Determine as funções f : R - {0,1} ==> R
tais que f(x) + f(1/(1-x)) =x para todo x do domínio de f."
Qual é o raciocínio?Por onde começo esse tipo de questão?
Desde já agradeço qualquer ajuda.
T+