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Galera estava viajando e
"cuidando" do dinheiro de vocês.
Vou começar pelas extremidades. Lembro-me da última
questão deixada pelo Paulo Santa Rita.
Prove que x^2+y^2+z^2=3*x*y*z possui apenas
solução inteira e são infinitas.
Antes de entrar no mérito da questão, gostaria de
comentar um assunto recente desta lista, referente ao conteúdo programático da
OMB. Parece-me que as Olimpíadas dos outros regioes: URSS, USA, Hungria,
Asiática,...exigem muito mais "conhecimento matemático" que a nossa. Vejo que a
OBM, na forma como está, mede apenas criatividade (que é uma inspiração de
momento). Entendo que se exige pouco conhecimento matemático na OBM. Acho
também que ela privilegia o aluno mais treinado, justamente porque os assuntos
não são ensinados no segundo grau. Resolver problemas de matemática está
intimamente relacionado a qual o tamanho da caixa de ferramentas (conjunto
de técnicas) que cada um possui, o resto é inspiração. A conjugação de
técnicas permite resolver a grande maioria dos problemas. Acho que poderíamos
fazer um mesclado entre as duas coisas: conhecimento e criativadade.
Voltando a questao. Usaremos uma técnica muito
conhecida na Informática:"dividir para conquistar". Assim, vamos separar o
conjunto dos inteiros em positivos e negativos. Em seguida, tomamos apenas a
parte positiva, a qual pode ser dividida em pares e impares. Assim, nós
dividimos o nosso raio de ação, atuando apenas em pequenas partes do conjunto
total (inteiros). Agora, veremos o comportamento da soma dentro do próprio
conjunto:
Com dois números:
par+par=par
impar+impar=par
par+impar=impar+par=impar
Com três números:
par+par+par=par
par+impar+par=impar
impar+impar+par=par
impar+impar+impar=impar
Assim, podemos testar as variáveis x,y e z, em
termos de pares e impares e continuar a solução. Tentem é um bom exercício...
Obrigado pela atenção
Fábio Arruda
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