Re: Olimp�ada Brasileira

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Fabio Arruda,
Ola Colegas da Lista,

Cordiais Saudacoes a Todos !


A questao que eu propus - retirada das olimpiadas russas - foi :

Mostre que a equacao x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz tem infinitas solucoes (x,y,z) 
formadas somente por numeros inteiros. Eu nao disse que ela SOMENTE TEM 
SOLUCOES INTEIRAS, EM NUMERO INFINITO.

E uma questao que me pareceu interessante porque nao exige nenhum 
conhecimento sofisticado algum, podendo qualquer aluno de 6 ou 7 serie 
resolve-la.

Para ajudar, dou a sugestao :

1) Coloque a equacao como x^2 - 2yzx + y^2 + z^2 = 0. Imagine que isso e uma 
equacao do 2 grau em "x".

2) Encontre uma solucao para a equacao do 2 em "x" acima ( ex: (1,1,1))

3) Mostre que esse fato implica na existencia de uma outra raiz inteira para 
a equacao

4) Encontre essa outra raiz. Isto fornece uma segunta solucao

5) Verifique que q equacao e simetrica nas 3 variaveis. Muodifique as 
variaveis.

6) O processo acima pode ser repetido infinitamente ...

Voce(s) depois pode(m) querer estudar (como eu fiz ) a equacao :

x^2 + y^2 + z^2 = Kxyz.

1) Existem infinitos K para os quais a equacao correspondente tem infinitas 
solucoes inteiras ?
2) Se sim a pergunta 1), e possivel caracterizar estes K ?

Um Grande abraco a Todos
Paulo Santa Rita
4,1108,30052001

Em tempo : Alguem conhece a demonstracao de Euler de que 26 e o unico numero 
natural que esta entre um quadrado perfeito e um cubo perfeito ?




>From: F�bio Arruda de Lima <fabioarruda@enter-net.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Olimp�ada Brasileira
>Date: Tue, 29 May 2001 20:55:03 -0300
>
>Galera estava viajando e "cuidando" do dinheiro de voc�s.
>Vou come�ar pelas extremidades. Lembro-me da �ltima quest�o deixada pelo 
>Paulo Santa Rita.
>Prove que x^2+y^2+z^2=3*x*y*z  possui apenas solu��o inteira e s�o 
>infinitas.
>Antes de entrar no m�rito da quest�o, gostaria de comentar um assunto 
>recente desta lista, referente ao conte�do program�tico da OMB. Parece-me 
>que as Olimp�adas dos outros regioes: URSS, USA, Hungria, 
>Asi�tica,...exigem muito mais "conhecimento matem�tico" que a nossa. Vejo 
>que a OBM, na forma como est�, mede apenas criatividade (que � uma 
>inspira��o de momento). Entendo que se exige pouco conhecimento matem�tico 
>na OBM. Acho tamb�m que ela privilegia o aluno mais treinado, justamente 
>porque os assuntos n�o s�o ensinados no segundo grau. Resolver problemas de 
>matem�tica est� intimamente relacionado a qual o tamanho da caixa de 
>ferramentas (conjunto de t�cnicas) que cada um possui, o resto � 
>inspira��o. A conjuga��o de t�cnicas permite resolver a grande maioria dos 
>problemas. Acho que poder�amos fazer um mesclado entre as duas coisas: 
>conhecimento e criativadade.
>Voltando a questao. Usaremos uma t�cnica muito conhecida na 
>Inform�tica:"dividir para conquistar". Assim, vamos separar o conjunto dos 
>inteiros em positivos e negativos. Em seguida, tomamos apenas a parte 
>positiva, a qual pode ser dividida em pares e impares. Assim, n�s dividimos 
>o nosso raio de a��o, atuando apenas em pequenas partes do conjunto total 
>(inteiros). Agora, veremos o comportamento da soma dentro do pr�prio 
>conjunto:
>Com dois n�meros:
>par+par=par
>impar+impar=par
>par+impar=impar+par=impar
>Com tr�s n�meros:
>par+par+par=par
>par+impar+par=impar
>impar+impar+par=par
>impar+impar+impar=impar
>Assim, podemos testar as vari�veis x,y e z, em termos de pares e impares e 
>continuar a solu��o. Tentem � um bom exerc�cio...
>Obrigado pela aten��o
>F�bio Arruda
>
>
>
>

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