Re: função composta

["Jose Paulo Carneiro" <jpqc@xxxxxxxxxxxxx>]

Nao entendi esta historia de "lei do corte" (??)
De modo nenhum f(f(x))=f(x) implica f(x)=x. Basta pensar numa funcao
constante.
JP


----- Original Message -----
From: Fábio Arruda de Lima <fabioarruda@enter-net.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, May 06, 2001 1:04 AM
Subject: Re: função composta


> Oi galera,
> A solução dada pelo Eric foi legal. Entretanto, fica uma pergunta.
>
> f(f(x)) = f(x)    =>   f(x) = x  (vale a lei do corte), e, além disso:
>
> f(x) = x  => f(f(x)) = f (x) (vale a lei de aplicar a mesma função aos 2
> membros)
>
> Pois, como ele poderia imaginar que f(f(y))=y+2*c => f(y)=y+c (linear)
>
> Seguindo, na solução da Questão da IMO - 1992, gostaria de sugerir alguns
> passos padrões, apenas para facilitar:
> 1) fazer x=y=0 conduz a f(0)=K (constante);
> 2) calcular o valor da constante K (neste caso foi "zero");
> 3) tentar verificar se f(x+y)=f(x)+f(y), f(x-y)=f(x)-f(y) ou qualquer
outra
> das equações funcionais bácisas, para poder enquadrar a f(x);
> 4) se a função é par ou impar;
> 5) "chute" que f(x) é uma função elementar de acordo com o achado do item
3;
> 6) Apele! Estude a continuidade, convergência, monotonicidade, contornos,
a
> que conjunto pertencem os resultados (racionais, irracionais, reais,
> complexos, inteiros, ...), periodicidade, domínio, imagem, contradomínio,
> transformadas, diferenciabilidade, etc
>
> Assim, a solução ficaria da seguinte forma:
>
> a) x=y=0 e f(0)=k, partimos para valores de f(k), f(k^2), f^2(k),
> precisaremos:
> f( f(0) )=k^2 => f( k=f(0) )=k^2 => f(k)=k^2
> y=0 e x=1=> f(x^2+k)=f(x)^2  => f(1+k)=f(1)^2
> x=0 e y=x => f(f(x))=x+k^2 => f(f(1))^2=(1+k^2)^2
> Por último, para o cálculo do valor de K, temos:
> x=k e y=1+k => f(k^2 + f(1+k))=1+k+ f(k)^2 = 1+k+k^4           (i)
> x=f(1) e y=k  => f(f(1)^2+f(k))=k+f(f(1))^2 = k + (1+k^2)^2       (ii)
>
> f(k^2+f(1)^2)=f(f(1)^2+f(k) => (i) e (ii) são iguais, logo k=0;
>
> Com k=0, temos f(f(x))=x   e  f(x^2)=f(x).
>
> b) f(x+y)=f(x) + f(y)
>     f(x-y)=f(x)-f(y)
>     f(-x) = - f(x)
>
> c) Diante disso, sugere-nos pelo item (b) que f(x)=c*x (linear)
>
> E daí por diante...
>
> Esta solução foi apresentada na página oficial da IMO, entretanto, tentem
> achar uma caminho melhor para mostrar que k=0.
>
>
> ----- Original Message -----
> From: Eric Campos Bastos Guedes <mathfire@ig.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Sunday, May 06, 2001 9:59 AM
> Subject: RES: função composta
>
>
> > >Agora, resolvam esta: (IMO - 1992)
> > >Ache todas as funções f::R -> R com a seguinte propriedade para todo
x,y
> E
> > >R (lê-se x pertencente aos Reais):
> > >
> > >f[x^2+f(y)]=y+[f(x)^2]
> >
> > Se descobrir a solução, favor mandar para a lista
> >
> > Acho que consegui uma solução, mas não tenho certeza.  Fazendo x=0 em
> > f(x^2+f(y))=y+(f(x)^2) vem
> >
> > f(f(y))=y+f(0)^2
> >
> > chamando 2c=f(0)^2 temos
> >
> > f(f(y))=y+2c, para todo y real
> >
> > Agora falta provar (se for verdade) que f(y)=y+c, daí vem
> >
> > f(x^2+f(y))=y+f(x)^2
> > x^2+y+c=y+(x+c)^2
> > x^2+y+c=y+x^2+2cx+c^2
> > c=2cx+c^2 para todo x, donde c=0 e f(y)=y para todo y real.
> >
> > Eric.
> >
> >
>
>