Re: função composta - complemento II

[Fábio Arruda de Lima <fabioarruda@xxxxxxxxxxxxxxxx>]

Oi,
Equacoes Funcionais
Livros:
1) Schröder-Koenings : Phi(f(x))=s*Phi(x)
M. Kuczma, Function equations in a single variable - Polish Scientific
Publishers, Warsam - 1968
2) Arthur Engel - Problem-Solving Strategies - Universidade de Frankfurt -
Capítulo 11 -pgs. 271 a 288
Um abraço galera
Fábio Arruda




----- Original Message -----
From: Fábio Arruda de Lima <fabioarruda@enter-net.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, May 06, 2001 2:06 AM
Subject: Re: função composta - complemento


> Olá rapaziada da Lista,
> Lembrei-me que um "engraçadinho" (muito esperto), apresentou-me, certa
vez,
> o seguinte problema:
> (IMO/1983)
> "Ache todas as funções f definida sobre o conjunto dos números reais
> positivos, tal que:
>
> a) f(x*f(y))=y*f(x)
> b)f(x) -> 0  quando  f(x)->oo (infinito)     "
>
> Ora, neste caso, se fizermos x=y=0, teremos 0=0 (Ah,Ah,Ah!)
>
> Pois bem, dentre as funções básicas (elementares) apresentadas, ficou
> faltando f(x)=1/x. Logo, se não for possível encontrar a f(0),
> provavelmente, teremos uma fração. Vejam que a condição "b" já conduz a
este
> caminho.
> Um abraço galera
> Fábio Arruda
>
>
>
>
>
>
> ----- Original Message -----
> From: Fábio Arruda de Lima <fabioarruda@enter-net.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Sunday, May 06, 2001 1:04 AM
> Subject: Re: função composta
>
>
> > Oi galera,
> > A solução dada pelo Eric foi legal. Entretanto, fica uma pergunta.
> >
> > f(f(x)) = f(x)    =>   f(x) = x  (vale a lei do corte), e, além disso:
> >
> > f(x) = x  => f(f(x)) = f (x) (vale a lei de aplicar a mesma função aos 2
> > membros)
> >
> > Pois, como ele poderia imaginar que f(f(y))=y+2*c => f(y)=y+c (linear)
> >
> > Seguindo, na solução da Questão da IMO - 1992, gostaria de sugerir
alguns
> > passos padrões, apenas para facilitar:
> > 1) fazer x=y=0 conduz a f(0)=K (constante);
> > 2) calcular o valor da constante K (neste caso foi "zero");
> > 3) tentar verificar se f(x+y)=f(x)+f(y), f(x-y)=f(x)-f(y) ou qualquer
> outra
> > das equações funcionais bácisas, para poder enquadrar a f(x);
> > 4) se a função é par ou impar;
> > 5) "chute" que f(x) é uma função elementar de acordo com o achado do
item
> 3;
> > 6) Apele! Estude a continuidade, convergência, monotonicidade,
contornos,
> a
> > que conjunto pertencem os resultados (racionais, irracionais, reais,
> > complexos, inteiros, ...), periodicidade, domínio, imagem,
contradomínio,
> > transformadas, diferenciabilidade, etc
> >
> > Assim, a solução ficaria da seguinte forma:
> >
> > a) x=y=0 e f(0)=k, partimos para valores de f(k), f(k^2), f^2(k),
> > precisaremos:
> > f( f(0) )=k^2 => f( k=f(0) )=k^2 => f(k)=k^2
> > y=0 e x=1=> f(x^2+k)=f(x)^2  => f(1+k)=f(1)^2
> > x=0 e y=x => f(f(x))=x+k^2 => f(f(1))^2=(1+k^2)^2
> > Por último, para o cálculo do valor de K, temos:
> > x=k e y=1+k => f(k^2 + f(1+k))=1+k+ f(k)^2 = 1+k+k^4           (i)
> > x=f(1) e y=k  => f(f(1)^2+f(k))=k+f(f(1))^2 = k + (1+k^2)^2       (ii)
> >
> > f(k^2+f(1)^2)=f(f(1)^2+f(k) => (i) e (ii) são iguais, logo k=0;
> >
> > Com k=0, temos f(f(x))=x   e  f(x^2)=f(x).
> >
> > b) f(x+y)=f(x) + f(y)
> >     f(x-y)=f(x)-f(y)
> >     f(-x) = - f(x)
> >
> > c) Diante disso, sugere-nos pelo item (b) que f(x)=c*x (linear)
> >
> > E daí por diante...
> >
> > Esta solução foi apresentada na página oficial da IMO, entretanto,
tentem
> > achar uma caminho melhor para mostrar que k=0.
> >
> >
> > ----- Original Message -----
> > From: Eric Campos Bastos Guedes <mathfire@ig.com.br>
> > To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > Sent: Sunday, May 06, 2001 9:59 AM
> > Subject: RES: função composta
> >
> >
> > > >Agora, resolvam esta: (IMO - 1992)
> > > >Ache todas as funções f::R -> R com a seguinte propriedade para todo
> x,y
> > E
> > > >R (lê-se x pertencente aos Reais):
> > > >
> > > >f[x^2+f(y)]=y+[f(x)^2]
> > >
> > > Se descobrir a solução, favor mandar para a lista
> > >
> > > Acho que consegui uma solução, mas não tenho certeza.  Fazendo x=0 em
> > > f(x^2+f(y))=y+(f(x)^2) vem
> > >
> > > f(f(y))=y+f(0)^2
> > >
> > > chamando 2c=f(0)^2 temos
> > >
> > > f(f(y))=y+2c, para todo y real
> > >
> > > Agora falta provar (se for verdade) que f(y)=y+c, daí vem
> > >
> > > f(x^2+f(y))=y+f(x)^2
> > > x^2+y+c=y+(x+c)^2
> > > x^2+y+c=y+x^2+2cx+c^2
> > > c=2cx+c^2 para todo x, donde c=0 e f(y)=y para todo y real.
> > >
> > > Eric.
> > >
> > >
> >
> >
>
>