Poderiam me ajudar tambem?

["Eric Campos Bastos Guedes" <mathfire@xxxxxxxxx>]

Saudacoes

Acho que consegui responder algumas de minhas proprias duvidas, mas nao
tenho certeza das respostas.  Gostaria que alguem que tenha conhecimento
desse assunto me dissesse se estou certo ou errado.

Uma aplicacao quadrilinear seria uma aplicacao linear com respeito a cada
uma das 4 variaveis.  Por exemplo, se B eh quadrilinear entao

B(x+x',y,z,w)=B(x,y,z,w)+B(x',y,z,w)
B(x,y+y',z,w)=B(x,y,z,w)+B(x,y',z,w)
B(x,y,z+z',w)=B(x,y,z,w)+B(x,y,z',w)
B(x,y,z,w+w')=B(x,y,z,w)+B(x,y,z,w')

B(ax,y,z,w)=aB(x,y,z,w)
B(x,ay,z,w)=aB(x,y,z,w)
B(x,y,az,w)=aB(x,y,z,w)
B(x,y,z,aw)=aB(x,y,z,w)

Uma aplicacao simetrica seria uma aplicacao em que podemos "permutar as
variaveis" sem alterar o valor, isto eh, se B:E^3->F eh simetrica, entao:

B(x,y,z)=B(x,z,y)=B(y,x,z)=B(y,z,x)=B(z,x,y)=B(z,y,x)

Lembrando o problema que propus

"Seja a funcao polinomial p: R^3 em R:
p(x,y,z)=7x^4+3x^2yz+8y^3-z^3+10xy-3x+2z+1, para todo(x,y,z) de
R^3.Determine uma aplicacao quadrilinear simetrica B4:
R^3xR^3xR^3xR^3 em R, uma trilinear B3, uma  bilinear B2, uma linear B1 e um
numero real B0 de R, de modo que:
p(v)=B4(v,v,v,v)+B3(v,v,v)+B2(v,v)+B1(v)+B0,
para todo v=(x,y,z) de R^3"

Acho que uma solucao pode ser esta:

sejam

v1=(x(1),y(1),z(1))
v2=(x(2),y(2),z(2))
v3=(x(3),y(3),z(3))
v4=(x(4),y(4),z(4))

B4(v1,v2,v3,v4)= 7x(1)x(2)x(3)x(4) +
(1/4)(x(1)x(2)y(3)z(4) + x(1)x(2)z(3)y(4) +
      x(1)y(2)x(3)z(4) + x(1)z(2)x(3)y(4) +
      x(1)y(2)z(3)x(4) + x(1)z(2)y(3)x(4) +
      y(1)x(2)x(3)z(4) + z(1)x(2)x(3)y(4) +
      y(1)x(2)z(3)x(4) + z(1)x(2)y(3)x(4) +
      y(1)z(2)x(3)x(4) + z(1)y(2)x(3)x(4))

Neste caso, B4 eh (seria) quadrilinear simetrica e se v=(x,y,z), entao

B4(v,v,v,v)=7x^4+3x^2yz

Alem disso

B3(v1,v2,v3)=8y(1)y(2)y(3) - z(1)z(2)z(3) eh trilinear simetrica e
B3(v,v,v)=8y^3-z^3;
B2(v1,v2) = 5x(1)y(2) + 5x(2)y(1) eh bilinear simetrica e B2(v,v)= 10xy
B1(v1) = -3x(1) + 2z(1) eh linear e B(v) = -3x + 2z
tomando B0=1 temos:

B4(v,v,v,v)+B3(v,v,v)+B2(v,v)+B1(v)+B0=
7x^4+3x^2yz+8y^3-z^3+10xy-3x+2z+1=p(x,y,z), para todos x,y,z em R.

Gostaria de saber se a solucao estah correta.

Grato.

Eric.