Re: função composta

[Fábio Arruda de Lima <fabioarruda@xxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Rogério,
Era nesse ponto que eu gostaria de chegar. Qual o método que você está
utilizando para encontrar a(s) solução(ões)? Você conseguiu encontrar as
soluções das equações funcionais básicas? Hoje eu encontrei tempo e estive
caminhando pelos últimos 10 anos de Olimpíadas de Matemática dos principais
países (USA, Rússia, Hungria, Inglaterra, Asiática, Canadense, etc),
verifiquei que na grande maioria este era um dos assuntos predominantes. A
técnica para solução de problemas deste tipo é "tabelar" os valores
resultantes de testes com amostras de elementos simples tipo: 0,1,2,etc...
Observar o comportamento dos resultados e, a partir disso, buscar uma funçao
elementar (funções lineares tipo f(x)=K*x, x^c, logaritmo, a^x, funções
trigonométricas, funções que assumam valores dinstintos para valores ímpares
e pares, etc) que possa expressar o desejado. Esta é uma regra geral,
entretanto, em alguns casos, você terá que ir mais além.
Um abraço
Fábio Arruda



> >Olá amigos,
> >já que estamos falando de funções...
> >Alguém poderia me dizer quais são os tipos de função que satisfazem as
> >equações funcionais abaixo:
> >1) Equações funcionais de Cauchy
> >a) f(x+y)=f(x)+ f(y)
> >b) f(x+y)=f(x)*f(y)
> >c) f(x*y)=f(x)+f(y)
> >d)f(x*y)=f(x)*f(y)
> >2)Equações funcionais de Jensen
> >a)f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2
> >3)Equações funcionais de D'Alambert
> >f(x+y)+f(x-y)=2*f(x)*f(y)
> >4)Equações funcionais trigonométricas
> >g(x+y)=f(x)*g(y)+f(y)*g(x)
> >g(x-y) =f(x)*g(y)-f(y)*g(x)
> >f(x+y)=f(x)*f(y)-g(x)*g(y)
> >f(x-y) =f(x)*f(y)+g(x)*g(y)
> >
> >Agora, resolvam esta: (IMO - 1992)
> >Ache todas as funções f::R -> R com a seguinte propriedade para todo x,y
E
> >R (lê-se x pertencente aos Reais):
> >
> >f[x^2+f(y)]=y+[f(x)^2]
>
> é obvio que a função identidade f(x)=x tem essa propriedade. É fácil,
> verificar, tb, que f(x)=ax não é solução se a é diferente de 1. Estou
> fortemente desconfiado que a função identidade é única, mas não consigo
> provar isso. Estou supondo a existência de um a E R t.q. f(a)=b, b
diferente
> de a, e tentando chegar num absurdo. Não sei se isso tem futuro, mas...
>
> Se descobrir a solução, favor mandar para a lista
> >
> >Um abraço
> >Fábio Arruda
>
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