Re: função composta

["Rogerio Fajardo" <rogeriofajardo@xxxxxxxxxxx>]

>From: Fábio Arruda de Lima <fabioarruda@enter-net.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: função composta
>Date: Tue, 1 May 2001 09:04:40 -0300
>
>Olá amigos,
>já que estamos falando de funções...
>Alguém poderia me dizer quais são os tipos de função que satisfazem as 
>equações funcionais abaixo:
>1) Equações funcionais de Cauchy
>a) f(x+y)=f(x)+ f(y)
>b) f(x+y)=f(x)*f(y)
>c) f(x*y)=f(x)+f(y)
>d)f(x*y)=f(x)*f(y)
>2)Equações funcionais de Jensen
>a)f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2
>3)Equações funcionais de D'Alambert
>f(x+y)+f(x-y)=2*f(x)*f(y)
>4)Equações funcionais trigonométricas
>g(x+y)=f(x)*g(y)+f(y)*g(x)
>g(x-y) =f(x)*g(y)-f(y)*g(x)
>f(x+y)=f(x)*f(y)-g(x)*g(y)
>f(x-y) =f(x)*f(y)+g(x)*g(y)
>
>Agora, resolvam esta: (IMO - 1992)
>Ache todas as funções f::R -> R com a seguinte propriedade para todo x,y E 
>R (lê-se x pertencente aos Reais):
>
>f[x^2+f(y)]=y+[f(x)^2]

é obvio que a função identidade f(x)=x tem essa propriedade. É fácil, 
verificar, tb, que f(x)=ax não é solução se a é diferente de 1. Estou 
fortemente desconfiado que a função identidade é única, mas não consigo 
provar isso. Estou supondo a existência de um a E R t.q. f(a)=b, b diferente 
de a, e tentando chegar num absurdo. Não sei se isso tem futuro, mas...

Se descobrir a solução, favor mandar para a lista
>
>Um abraço
>Fábio Arruda

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