Re: fun��o composta

["Rogerio Fajardo" <rogeriofajardo@xxxxxxxxxxx>]

>From: F�bio Arruda de Lima <fabioarruda@enter-net.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: fun��o composta
>Date: Tue, 1 May 2001 09:04:40 -0300
>
>Ol� amigos,
>j� que estamos falando de fun��es...
>Algu�m poderia me dizer quais s�o os tipos de fun��o que satisfazem as 
>equa��es funcionais abaixo:
>1) Equa��es funcionais de Cauchy
>a) f(x+y)=f(x)+ f(y)
>b) f(x+y)=f(x)*f(y)
>c) f(x*y)=f(x)+f(y)
>d)f(x*y)=f(x)*f(y)
>2)Equa��es funcionais de Jensen
>a)f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2
>3)Equa��es funcionais de D'Alambert
>f(x+y)+f(x-y)=2*f(x)*f(y)
>4)Equa��es funcionais trigonom�tricas
>g(x+y)=f(x)*g(y)+f(y)*g(x)
>g(x-y) =f(x)*g(y)-f(y)*g(x)
>f(x+y)=f(x)*f(y)-g(x)*g(y)
>f(x-y) =f(x)*f(y)+g(x)*g(y)
>
>Agora, resolvam esta: (IMO - 1992)
>Ache todas as fun��es f::R -> R com a seguinte propriedade para todo x,y E 
>R (l�-se x pertencente aos Reais):
>
>f[x^2+f(y)]=y+[f(x)^2]

� obvio que a fun��o identidade f(x)=x tem essa propriedade. � f�cil, 
verificar, tb, que f(x)=ax n�o � solu��o se a � diferente de 1. Estou 
fortemente desconfiado que a fun��o identidade � �nica, mas n�o consigo 
provar isso. Estou supondo a exist�ncia de um a E R t.q. f(a)=b, b diferente 
de a, e tentando chegar num absurdo. N�o sei se isso tem futuro, mas...

Se descobrir a solu��o, favor mandar para a lista
>
>Um abra�o
>F�bio Arruda

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