|
Bem, se quer saber a origem do problema, é a
seguinte:
O Marcelo Souza, daki da lista me manda
às vezes uns problemas e ele me mandou, certa vez um que era pra ver se
uma série lá convergia.... daí, eu percebi que a gente pode
criar várias séries que geram problemas muito intererssantes e a
primeira que me veio à cabeça foi essa ! hehehehe.... nem sabia
que nunca tinha sido feito... Da outra vez que ele apareceu na lista tb fui eu
que mandei... eu queria uma resposta fechada, ou seja, saber se realmente a
série converge ( que é o meu palpite ! ), pois [(1-sqrt5)/2]^n
tende a zero para n grande, logo a série se aproxima de uma PG.... sei
lá...
Abraços,
¡ Villard
!
Sauda,c~oes,
Aí vai a resposta "completa" para o
problema.
Sendo o que foi, qual o interesse do problema? Melhor
dizendo,
você esperava uma resposta fechada? Qual a origem
deste
problema? Também ficara curioso com ele e lembro-me
que ele
aparecera há muito tempo na lista. E também
não tivera nenhuma
idéia de como tratá-lo.
Mais uma vez temos que nos contentar com uma resposta
numérica.
[ ]'s
Lu'is
===
Dear Luis:
The series converges by comparison with the geometric
series $\phi^(-(n-2))$ (where $\phi$ is the golden ratio), and
the
value of $\floor 50 H \rfloor$
is easily found by numerical calculations
(using Maple) by
computing the $N$th partial sum for an appropriate $N$
and bounding the tail by using
$$
\sum_{n=N+1}^{\infty} 1/F_n
< \phi^(-(N-3))
$$
$N = 25$ is a suitable value, and this
gives $\lfloor 50H \rfloor = 167$.
I didn't see an elegant way to
do this (that is, not relying on Maple).
As I pointed out earlier, it is
my understanding that there is no known
exact value (i.e. in
"standard" constants, $\phi, e, \sqrt{5}$, etc.)
for the sum
of the series. I know that this may be somewhat
disappointing, but
I hope that it is helpful nevertheless.
Cecil
===
-----Mensagem Original-----
Enviada em: Sexta-feira, 13 de
Abril de 2001 21:40
Assunto: Parte inteira -
insistente
Primeia parte : Qual é o limite de
somatório de 1/F(n) com n variando de 1 até G , onde F(n)
é o n-ésimo da sequência de Fibonacci, com G
tendendo a infinito ??
Segunda parte : Se o limite não for
infinito, e é igual a H, calcular a parte inteira de
50H.
Abraços,
¡ Villard
!
|