Re:

["Jose Paulo Carneiro" <jpqc@xxxxxxxxxxxxx>]

Dos naturais para os inteiros, eh facil.
Em N x N, considere a relacao de equivalencia (a;b)~(c;d) sse a+d=b+c. O
conjunto dos inteiros serah o proprio conjunto quociente, e os naturais
aparecerao como as classes dos elementos da forma (0;a), com a em N. As
definicoes de adicao, multiplicacao e ordem sao as "obvias". Isto tem, por
exemplo, no livro de Algebra do Nathan Jacobson.

Dos inteiros para os racionais, nao eh dificil, e estah em qualquer livro de
Algebra, como Birkhoff, Adilson Goncalves, etc. Em Z x Z* (onde Z* sao
inteiros nao nulos), considere a relacao de equivalencia (a;b)~(c;d) sse
ad=bc. Novamente, os racionais serao o proprio conjunto quociente. As
definicoes pertinentes sao tambem obvias. So dah mais trabalho ateh mostrar
que isto pode ser feito um corpo ordenado que contem os inteiros (que sao as
classes de elementos do tipo (a;1)).

Dos racionais para os reais, eh de longe a passagem mais dificil. Tem feito
no livro de Algebra do Abramo Hefetz, por sequencias fundamentais. Nao vou
descrever aqui, mas eh muito bonito.

Dos reais para os complexos, eh a passagem mais mole (prestem atencao nisto,
inimigos dos complexos!). Nao precisa fazer relacao de equivalencia nenhuma.
Os complexos sao o proprio R^2. basta apenas definir adicao e multiplicaco
de modo conveniente (a adicao eh a soma por componentes, e a mulitplicacao
equivale a multiplicar os modulos e somar os argumentos). isto tem no meu
livro de Rewsolucao de Equacoes Algebricas.

JP



----- Original Message -----
From: <rmf00007.umes@uol.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Saturday, April 14, 2001 3:03 PM


> Olá0 colegas da lista, gostaria de pedir algumas demonstrações que partam
de alguns axiomas sobre números naturais e que desenvolvam os outros
conjuntos númericos até o conjunto dos números complexos(com suas
propriedades). E diante de alguns paradoxos(dentro dos axiomas que podem
partir para outros novas matemáticas) façam mençoes. Agradeço sugestões de
obras.
> "Deus fez os numeros naturais.
> O resto e obra dos homens"
> Leopold Kronecker