Re: Teorema de Fermat

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

O seu problema encontra-se no seguinte contexto: Fermat pensava que os
números F_i=2^{2^i}, chamados números de Fermat, eram primos para
i=0,1,2.... E ficaram conhecidos como os primos de Fermat.

Tudo vai bem para i=0,1,2,3,4. Para i=5, acho que foi Euler que mostrou que
F_5 não é primo.

A demonstração é interessante e segue a linha indicada no email abaixo.
Transcrevo a observação retirada da solução do exercício 28 do Manual de
Indução que por sua vez foi retirada de
<Coxeter, H.S.M., Introduction to Geometry>.

O número  641 = 5^4 + 2^4 = 5*2^7 + 1, dividindo tanto a = 5^4*2^{28} +
2^{32} quanto
b = 5^4*2^{28} - 1, divide sua diferença, que é precisamente F_5.

Assim, a - b = F_5 = 641(2^{28} - 5^3*2^{21} + 5^2*2^{14} - 5*2^7 + 1) =
641*6 700 417.  CQD

Entretanto, o seguinte resultado é válido: 2^n +1 poderá ser um número primo
somente se n=2^i . Logo, 2^n + 1 é um número composto para todo n >=3 e n =!
2^i, i = 2,3,...

Os "primos" de Fermat aparecem no estudo de Gauss sobre os polígonos
construtíveis. Ver para isso Coxeter e <Wagner, E., Construções
Geométricas.>

Abraços,
Luís

-----Mensagem Original-----
De: Eduardo Grasser <grasser@prt15.gov.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Domingo, 1 de Abril de 2001 09:47
Assunto: Teorema de Fermat


Estava eu conversando com o pai de uma amiga minha e ele disse que
haveria um Teorema de Fermat relacionado com o problema

provar pelo teorema de fermat que 2^2^5 + 1 não é primo.
dicas 641 = 2^4 + 5^4 = 5*2^7 + 1

ficou-me claro que o 2^2^5 + 1 é divisível por 641 e que eu precisava
provar isso:
2^32 + 1 =
2^32 + (5*2^7)^4 - (5*2^7)^4 + 1 =
2^28(2^4 + 5^4) - ((5*2^7)^4 - 1)
641*2^28 - (5*2^7 + 1)(5*2^7 - 1)((5*2^7)^2 + 1)
641(2^28 - (5*2^7 -1)((5*2^7)^2 + 1)

provei, mas não usei o teorema (ou usei implicitamente). Alguém pode me
ajudar?