Re: Conjuntos

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, 15 Mar 2001, Marcelo Ferreira wrote:

> Alguem ai pode dizer o que eh o "conjunto" de todos os conjuntos ?
> 
> Abracos, Marcelo.
> 

As aspas são usadas com boa razão: se permitirmos montar
o conjunto de *todos* os objetos que satisfazem a propriedade P
para *qualquer* propriedade P caímos em contradição muito rápido.
A contradição mais rápida é talvez a de Bertrand Russell:

R = { X | X não pertence a X }

ou seja

X pertence a R <=> X não pertence a X

por definição

R pertence a R <=> R não pertence a R

uma contradição.

O usual é permitir apenas conjuntos "pequenos", i.e.,
podemos tomar o conjunto B de todos os elementos de um conjunto
previamente construído que satisfazem a propriedade P
(e podemos também montar conjuntos por outras construções,
como união ou partes) mas *não* podemos tomar o conjunto C
de *todos* os objetos com a propriedade P. A idéia é que conjuntos
vão sendo criados uns a partir dos outros e C não pode esperar pela
criação de *todos* os conjuntos (inclusive C?) para ser criado.

Ou seja, na teoria dos conjuntos usual não existe o conjunto
de todos os conjuntos. O que às vezes se faz é introduzir o conceito
de *classe*: classes são criadas depois de todos os conjuntos
o que significa que um conjunto pode pertencer a uma classe
mas uma classe não pode pertencer nem a uma classe nem a um conjunto.
A teoria dos conjuntos simples, sem classes, chama-se ZF ou ZFC
(Z = Zermelo, F = Fraenkel, C = axioma da escolha);
a teoria dos conjuntos com classes chama-se BG
(B = Bernays, G = Gödel).

[]s, N.