fatoracao ou N como produto de tres fatores

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Escrevi para o prof. Rousseau a respeito deste
problema e ele me respondeu o seguinte:

====
  Dear Luis:

 I don't know of a simple formula for the problem that you posed.
Even when N = p^k is a prime power, the problem is not that trivial.
In that case f(N) is the number of solutions of  k = a_1 + a_2 + a_3
where a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq 0.  By generating functions
or otherwise, one can show that the number of such solutions
is {(k+3)^2/12}.  where {x} denotes the integer nearest x.
Clearly f(N) only depends on the exponents in the prime factorization
of N. Of course, the problem becomes much simpler if order is
taken into account, i.e. the factorizations 1 \cdot 1 \cdot 2,
1 \cdot 2 \cdot 1, and 2 \cdot 1 \cdot 1 are counted as distinct.

Cecil
===

\geq 'e como TeX representa >=
\cdot 'e como TeX representa o ponto da multiplica,c~ao

Esclarecimento quanto `a fun,c~ao {(k+3)^2/12}.

k=1 {16/12}={1,3333...}=1
k=2 {25/12}={2,08333...}=2
k=6 {81/12}={6,75}=7

Logo para N primo e suas pot^encias o problema est'a
resolvido.

E levando em conta a ordem dos fatores, como resolver o problema?

[ ]'s
Lu'is

-----Mensagem Original-----
De: Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Segunda-feira, 5 de Março de 2001 12:32
Assunto: Re: fatoracao ( correcao )


> Estou corrigindo a mensagem abaixo
>
> >From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >Subject: Re: fatoracao
> >Date: Mon, 05 Mar 2001 05:52:47
> >
> >Ola Josimat e
> >demais Colegas da Lista.
> >
> >A pergunta abaixo, formulada pelo colega Josimat, me pareceu
> >interessante ate onde a entendi ... De fato: Suspeito que nao
> >estou entendendo-a inteiramente ou que a publicacao do colega
> >chegou truncada ...
> >
> >Suponho que o colega queira determinar, em funcao de um numero
> >natural N, a quantidade de maneiras de representar este numero
> >como um produto de tres fatores. E isso ?
> >
> >O exemplo que o colega deu sugere que a ordem dos fatores e
> >irrelevante ...
> >
> >Se for assim :
> >
> >1)O fator 1 (um) e meramente decorativo, prestando-se tao somente
> >para dar a todos os produtos com menos de tres fatores maiores que
> >a unidade a quantidade exata de tres fatores ?
> >
> >Neste caso, a expressao "REPRESENTACAO COM ATE TRES FATORES MAIORES
> >QUE A UNIDADE" seria uma interpretacao correta ...
> >
> >2)E - como sugere a mensagem - realmente uma funcao de N que se
> >procura ?
> >
> >Neste caso, salvo melhor juizo, uma resposta com funcoes elementares
parece
> >ser impraticavel ... Para ver isso, note que
> >
> >A) se N for primo entao:
> >
> >"N = N" e a unica representacao possivel. A resposta seria portanto
> >1 (um) para um numero primo.
> >
> >B) se N for um quadrado perfeito:
> >
> >Sejam X1,X2,...,Xn os expoentes dos fatores primos em que N se
> >decompoe. Entao, a quantidade de representacoes com dois fatores
> >seria :
>
> AQUI :
>
> >T2=(X1/2 + 1)*(X2/2 + 1)*...*(X3/2 + 1) - 1
>
> O CERTO E:
>
> T2=(X1/2 + 1)*(X2/2 + 1)*...*(Xn/2 + 1) - 1
>
> >A decomposicao de cada uma destas representacoes dara, numa mesma
> >logica, o total com tres fatores. A soma de tudo isso seria a resposta do
> >problema ... Mas ... FICARIAMOS NA DEPENDENCIA DOS EXPOENTES E
> >NENHUMA FUNCAO ELEMENTAR PODERIA EXPRESSAR O SOMATORIO FINAL.
> >
> >Pode ser que o que o colega quer e um algoritmo, o que tornaria o
problema
> >bem mais simples, talvez trivial.
> >
> >A questao do colega e "sui generis", fugindo a formulacao burocratica
> >de que comumente se servem muitos problemas, suscitando assim, pelo
> >que penso, uma natural curiosidade... Mas os nossos "maravilhos" meios
> >eletronicos nao raro embaralham os enunciados, causando assim uma
> >ofensa a clareza, que, desde Descartes, e um ideal a ser perseguido em
> >todas
> >as comunicacoes cientificas ...
> >
> >"Em questoes transcendentes, seja trancendentalmente claro !"
> >Renne Descartes
> >
> >Um Abraco Josimat
> >Um Abraco a todos
> >
> >Paulo Santa Rita
> >2,0249,05032001
> >
> >
> >
> >>From: "josimat" <josimat@openlink.com.br>
> >>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >>To: "OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >>Subject: fatoracao
> >>Date: Sun, 4 Mar 2001 12:26:48 -0300
> >>
> >>De quantos modos podemos escrever um numero natural como produto de tres
> >>numeros naturais?
> >>Exemplo:
> >>O numero 8 pode ser escrito de 3 formas (apenas):
> >>1 x 1 x 8
> >>1 x 2 x 4
> >>2 x 2 x 2
> >>
> >>[]s Josimar
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