Re: Sob que condiçoes uma deformacao preserva medidas

["José Paulo Carneiro" <jpqc@xxxxxxxxxxxxx>]

Muito profunda esta sua pergunta.
Voce sentiu que, a partir de um certo ponto, nao podemos nos satisfazer com
estes papos vagos de "juntar uma infinidade de infinitamente pequenos", que
este tipo de coisa algumas vezes vai funcionar, outras nao.
Esta pergunta conduziu a Teoria da Medida e da Integracao, uma teoria as
vezes surpreendente, como mostra o paradoxo de Banach-Tarski, do qual uma
formulacao eh a seguinte:
Admita que cada conjunto limitado de pontos do plano tenha uma area; que a
area da uniao disjunta de um numero finito de subconjuntos limitados do
plano seja a soma das areas desses conjuntos; que duas figuras congruentes
tenham a mesma area; que a area de um retangulo seja base vezes altura.
Pois bem, estas inocentes suposicoes sao contraditorias entre si.
A chave da questao eh que voce tem que abandonar a primeira suposicao. nem
todo subconjunto limitado do plano tem area. Isto conduziu o grande Henri
Lebesgue ao conceito de conjunto mensuravel.
Se voce estah interessado neste assunto, comece a ler bons livros sobre
integracao. Lembro-me de alguns de cabeca: o melhor de todos, escrito em
1904, pelo proprio Lebesgue: Licoes sobre a Integracao. Outro bom eh o do
Halmos: Measure Theory. Otros membros da lista indicarao outros mais
modernos.


-----Mensagem original-----
De: Jorge Peixoto Morais Neto <JorgePeixoto@operamail.com>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Sábado, 3 de Fevereiro de 2001 13:25
Assunto: Sob que condiçoes uma deformacao preserva medidas


>Eh comum dizer, por exemplo, que um circulo eh formado por infinitas linhas
que, quando desenroladas, formam um triangulo de base 2piR e altura R, e
assim calcular a área. Existem
>diversoes outros exeplos de deformações que são usadas para calcular área
ou volume . A pergunta: sempre que se divide um figura em partes que sao
"infinitamente finas" (como as linhas
>do circulo, ou os cilindros ocos - envolucros cilindricos  - com os quais
se calcula o volume sob superficies de revolucao) elas podem ser
"desenroladas" (como as linhas do circulo que viram
>segmentos de reta, ou os envolucors cilindricos que viram paralelepipedos
muito finos) sem que sua "medida" se altere?
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