Re: Sob que condiçoes uma deformacao preserva medidas

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, 3 Feb 2001, José Paulo Carneiro wrote:

> Muito profunda esta sua pergunta.
> Voce sentiu que, a partir de um certo ponto, nao podemos nos satisfazer com
> estes papos vagos de "juntar uma infinidade de infinitamente pequenos", que
> este tipo de coisa algumas vezes vai funcionar, outras nao.
> Esta pergunta conduziu a Teoria da Medida e da Integracao, uma teoria as
> vezes surpreendente, como mostra o paradoxo de Banach-Tarski, do qual uma
> formulacao eh a seguinte:
> Admita que cada conjunto limitado de pontos do plano tenha uma area; que a
> area da uniao disjunta de um numero finito de subconjuntos limitados do
> plano seja a soma das areas desses conjuntos; que duas figuras congruentes
> tenham a mesma area; que a area de um retangulo seja base vezes altura.
> Pois bem, estas inocentes suposicoes sao contraditorias entre si.
> A chave da questao eh que voce tem que abandonar a primeira suposicao. nem
> todo subconjunto limitado do plano tem area. Isto conduziu o grande Henri
> Lebesgue ao conceito de conjunto mensuravel.

Na verdade os axiomas que você enuncious não levam a uma contradição:
a contradição aparece apenas em R^3, onde é possível cortar uma esfera
em um número finito de pedaços e rearrumá-los para montar duas esferas
iguais à primeira. Ou mais geralmente decompor o conjunto A em um número
finito de pedaços e rearrumá-los para montar o conjunto B:
isto é possível desde que A e B sejam ambos limitados e tenham interior
não vazio (i.e., contenham uma bolinha). Este é aliás o paradoxo de B-T
que eu conheço.

A diferença entre R^2 e R^3 está em que o grupo de simetrias de R^2
ainda é relativamente pequeno (amenable) enquanto o grupo das simetrias
de R^3 é bem maior...

O conjunto de axiomas que você listou também leva a uma contradição
já em R (e portanto em qq R^n) se ao invés de postular
que a área de uma união *finita* de peças distintas
é a soma das áreas você postular o mesmo para uniões *enumeráveis*.

Aliás um grande problema da matemática do século XX foi o da quadratura 
do círculo: não aquele proposto pelos gregos e cuja demostração foi
concluída com a prova da transcendência de pi. O problema século XX
da quadratura do círculo é: será possível decompor um círculo de área 1
em um número finito de peças e rearrumá-las para formar um quadrado
de área 1? A resposta é que sim, é possível.

[]s, N.