Re: Gavetas

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

Mas foi isso q eu fiz após os pontinhos.... dê uma olhada..
-----Mensagem original-----
De: Augusto Morgado <morgado@centroin.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Sexta-feira, 8 de Dezembro de 2000 20:05
Assunto: Re: Gavetas


>O fato de a equaçao em x ter uma unica raiz nao equivale a equaçao em y
>ter uma unica raiz.
>Veja, se a equaçao em y tiver uma raiz positiva e uma negativa, a
>equaçao em x tera uma unica raiz real.
>Na verdade o problema eh determinar a para que a equaçao tenha uma unica
>raiz positiva.
>
>Rodrigo Villard Milet wrote:
>>
>> Para o seu problema :
>> Seja 2^x = y ( y > 0). Daí, y^2 - a*y + (3a-8) = 0 (I)
>> Delta = D...... D = a^2 - 12a + 32.  Como queremos única solução, devemos
>> ter a = 4 ou a = 8 ( Delta = 0 ). Para isso, teremos y = a/2, o que nos
dá y
>> = 2 e y = 4
>> Daí, no primeiro caso, x = 1. Do segundo, x = 2. Parece que os valores de
a
>> são 4 e 8, no entanto estou meio desconfiado de alguma armadilha !
>> -------------------------------------------------------------------------
---
>> -----------------------------------------
>> Por que acho isso ?? Porque testando a = 8/3, temos 2^x ( 2^x - 8/3 ) = 0
e
>> como 2^x nunca é zero, temos que x é igual a log 8/3 na base 2, que é
real e
>> é único ! Hum...... acho que tive uma idéia !! Como o gráfico da equação
(I)
>> tem a concavidade para cima e queremos uma raiz real apenas, basta
obrigar
>> y1 < 0 < y2 ( y1 e y2 são raízes) , pois y1 < 0 gera 2^x < 0... absurdo !
>> Com isso, defino P(y) = y^2 - a*y + (3a-8). Para termos o 0 entre as
raízes,
>> devemos ter P(0) < 0, o que nos dá 3a-8 < 0 ... a < 8/3. Como verificamos
>> que 8/3 serve tb, então a=<8/3. Daí, temos a solução seguinte :
>>  a pertence aos reais, tal que a=4 ou a=8 ou a=<8/3 ( o que parece agora
>> estar certo )
>>
>> Abraços,
>>    ¡ Villard !
>>
>> -----Mensagem original-----
>> De: Eduardo Favarão Botelho <botelho@ajato.com.br>
>> Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> Data: Quinta-feira, 7 de Dezembro de 2000 23:21
>> Assunto: Gavetas
>>
>> >Olá a todos!
>> >
>> >    O problema a seguir saiu da Eureka 5, do princípio  das gavetas, e
sua
>> >solução pode ser simples, mas empaquei nela. Dêem uma olhada, por favor:
>> >
>> >    Mostre que para qualquer coleção de n inteiros há um subconjunto
cuja
>> >soma é divisível por n.
>> >
>> >    Bom... e aproveitando, vou deixar um problema que achei muito
>> >interessante de uma apostila do curso pré-vestibular do Objetivo:
>> >
>> >    Considere, em R, a equação 4^x - a.2^x + (3a - 8) = 0
>> >
>> >    Determine todos os valores de a para que a equação admita uma única
>> >solução real.
>> >
>> >    Abraços, Eduardo
>> >
>> >
>