Re: Gavetas

[Augusto Morgado <morgado@xxxxxxxxxxxxxxx>]

O fato de a equaçao em x ter uma unica raiz nao equivale a equaçao em y
ter uma unica raiz.
Veja, se a equaçao em y tiver uma raiz positiva e uma negativa, a
equaçao em x tera uma unica raiz real.
Na verdade o problema eh determinar a para que a equaçao tenha uma unica
raiz positiva. 

Rodrigo Villard Milet wrote:
> 
> Para o seu problema :
> Seja 2^x = y ( y > 0). Daí, y^2 - a*y + (3a-8) = 0 (I)
> Delta = D...... D = a^2 - 12a + 32.  Como queremos única solução, devemos
> ter a = 4 ou a = 8 ( Delta = 0 ). Para isso, teremos y = a/2, o que nos dá y
> = 2 e y = 4
> Daí, no primeiro caso, x = 1. Do segundo, x = 2. Parece que os valores de a
> são 4 e 8, no entanto estou meio desconfiado de alguma armadilha !
> ----------------------------------------------------------------------------
> -----------------------------------------
> Por que acho isso ?? Porque testando a = 8/3, temos 2^x ( 2^x - 8/3 ) = 0 e
> como 2^x nunca é zero, temos que x é igual a log 8/3 na base 2, que é real e
> é único ! Hum...... acho que tive uma idéia !! Como o gráfico da equação (I)
> tem a concavidade para cima e queremos uma raiz real apenas, basta obrigar
> y1 < 0 < y2 ( y1 e y2 são raízes) , pois y1 < 0 gera 2^x < 0... absurdo !
> Com isso, defino P(y) = y^2 - a*y + (3a-8). Para termos o 0 entre as raízes,
> devemos ter P(0) < 0, o que nos dá 3a-8 < 0 ... a < 8/3. Como verificamos
> que 8/3 serve tb, então a=<8/3. Daí, temos a solução seguinte :
>  a pertence aos reais, tal que a=4 ou a=8 ou a=<8/3 ( o que parece agora
> estar certo )
> 
> Abraços,
>    ¡ Villard !
> 
> -----Mensagem original-----
> De: Eduardo Favarão Botelho <botelho@ajato.com.br>
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Data: Quinta-feira, 7 de Dezembro de 2000 23:21
> Assunto: Gavetas
> 
> >Olá a todos!
> >
> >    O problema a seguir saiu da Eureka 5, do princípio  das gavetas, e sua
> >solução pode ser simples, mas empaquei nela. Dêem uma olhada, por favor:
> >
> >    Mostre que para qualquer coleção de n inteiros há um subconjunto cuja
> >soma é divisível por n.
> >
> >    Bom... e aproveitando, vou deixar um problema que achei muito
> >interessante de uma apostila do curso pré-vestibular do Objetivo:
> >
> >    Considere, em R, a equação 4^x - a.2^x + (3a - 8) = 0
> >
> >    Determine todos os valores de a para que a equação admita uma única
> >solução real.
> >
> >    Abraços, Eduardo
> >
> >