Re: Gavetas

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

Para o seu problema :
Seja 2^x = y ( y > 0). Daí, y^2 - a*y + (3a-8) = 0 (I)
Delta = D...... D = a^2 - 12a + 32.  Como queremos única solução, devemos
ter a = 4 ou a = 8 ( Delta = 0 ). Para isso, teremos y = a/2, o que nos dá y
= 2 e y = 4
Daí, no primeiro caso, x = 1. Do segundo, x = 2. Parece que os valores de a
são 4 e 8, no entanto estou meio desconfiado de alguma armadilha !
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Por que acho isso ?? Porque testando a = 8/3, temos 2^x ( 2^x - 8/3 ) = 0 e
como 2^x nunca é zero, temos que x é igual a log 8/3 na base 2, que é real e
é único ! Hum...... acho que tive uma idéia !! Como o gráfico da equação (I)
tem a concavidade para cima e queremos uma raiz real apenas, basta obrigar
y1 < 0 < y2 ( y1 e y2 são raízes) , pois y1 < 0 gera 2^x < 0... absurdo !
Com isso, defino P(y) = y^2 - a*y + (3a-8). Para termos o 0 entre as raízes,
devemos ter P(0) < 0, o que nos dá 3a-8 < 0 ... a < 8/3. Como verificamos
que 8/3 serve tb, então a=<8/3. Daí, temos a solução seguinte :
 a pertence aos reais, tal que a=4 ou a=8 ou a=<8/3 ( o que parece agora
estar certo )

Abraços,
   ¡ Villard !


-----Mensagem original-----
De: Eduardo Favarão Botelho <botelho@ajato.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quinta-feira, 7 de Dezembro de 2000 23:21
Assunto: Gavetas


>Olá a todos!
>
>    O problema a seguir saiu da Eureka 5, do princípio  das gavetas, e sua
>solução pode ser simples, mas empaquei nela. Dêem uma olhada, por favor:
>
>    Mostre que para qualquer coleção de n inteiros há um subconjunto cuja
>soma é divisível por n.
>
>    Bom... e aproveitando, vou deixar um problema que achei muito
>interessante de uma apostila do curso pré-vestibular do Objetivo:
>
>    Considere, em R, a equação 4^x - a.2^x + (3a - 8) = 0
>
>    Determine todos os valores de a para que a equação admita uma única
>solução real.
>
>    Abraços, Eduardo
>
>