|
Vou fazer piso(x) = P(x), para facilitar...
x^y = x elevado a y
x * y = x "vezes" y
Temos que todo P(na) deve ser ímpar, da forma 2b - 1,
para b inteiro positivo maior ou igual a 1.
Ora, se P(a) = 2p - 1, a = 2p - q, onde 0
< q <= 1, para m inteiro maior ou igual a 1.
2a = 4p - 2q.
Como 0 < q <= 1, 0 < 2q <= 2.
i) Se 1 < 2q <= 2, P(2a) = 4p - 2, que é par
(ABSURDO)
ii) Se 0 < 2q <= 1, P(2a) = 4p - 1, que é
ímpar.
Logo, 0 < 2q <= 1.
4a = 8p - 4q. Como 0 < 2q <= 1, 0
< 4q <= 2
i) Se 1 < 4q <= 2, P(4a) = 8p - 2,
que é par (ABSURDO)
ii) Se 0 < 4q <= 1, P(4a) = 8p - 1, que é
ímpar. Logo, 0 < 4q <= 1.
Repetindo esse processo repetidas vezes, obtemos, para todo
k:
0 < 2^k * q <= 1, ou:
2^k * q <= 1
(I) e
2^k * q > 0 (II)
De (I), vem: q <= 1/(2^k), para todo k positivo.
Quando k tende a infinito, 1/(2^k) tende a zero...
Logo, q <= 0 (ABSURDO pela definição de q).
Conclui-se, assim, que não há q possível para que ocorra o proposto no
enunciado.
Dessa forma, pode-se afirmar que não há um número real positivo a
para o qual piso(na) é ímpar para todo inteiro positivo n.
[]'s, Alexandre Terezan.
----- Original Message -----
|