Re: questão

[Sistema ELITE de Ensino - Unidade Belém <titular@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Seja o Polinômio P(x) = x^5 - 1
As 5 raízes de P(x) são as 5 raízes quintas da unidade (ou as 5 raízes de
ordem 5 da unidade), que são 1, z, z^2, z^3, z^4, onde z é o número complexo
z = cos (2.pi/5) + i.sen (2.pi/5)
Como todo polinômio, P(x) pode ser desenvolvido em função de suas raízes:
P(x) = (x - 1)(x - z)(x - z^2)(x - z^3)(x - z^4).
Calculemos agora Q(x), que é o polinômio que satisfaz  P(x) = (x - 1)Q(x)
Como  x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1), temos que  Q(x) = x^4 +
x^3 + x^2 + x + 1 = (x - z)(x - z^2)(x - z^3)(x - z^4).
Vale ressaltar que até aqui na questão z é o número complexo z = cos
(2.pi/5) + i.sen (2.pi/5), e no enuncaido w é qualquer uma das 4 raízes
complexas de P(x) (z, z^2, z^3, z^4), entretanto como z^5 = 1, a seqüência
z, z^2, z^3, z^4 é igual (a menos da ordem) a seqüência w, w^2, w^3, w^4.
Por exemplo, faça w = z^3. Teremos então:
w = z^3, w^2 = z^6 = z, w^3 = z^9 = z^4, w^4 = z^12 = z^2.
Assim, (1 - w)(1 - w^2)(1 - w^3)(1 - w^4) = (1 - z)(1 - z^2)(1 - z^3)(1 -
z^4) = Q(1) = 5

Notemos também que é possível fazer uma generalização, que a propósito ja
até caiu em um vestibular antigo do IME, que é a seguinte: Se x^n = 1 (x
diferente de 1 e n um inteiro positivo), prove que  (1 - x)(1 - x^2)(1 -
x^3)...(1 - x^(n - 1)) = n.
A idéia de resolução é análoga a acima apresentada.

Marcelo Rufino

----- Original Message -----
From: Marcelo Souza <marcelo_souza7@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, November 17, 2000 1:49 PM
Subject: questão


> Olá pessoal,
> Alguém poderia me ajudar com a seguinte questão?
> - temos que w^5 = 1, sendo w diferente de 1, calcule (1 - w)(1 - w^2)(1-
> w^3)(1 - w^4).
> valeu
> abraços
> marcelo
>
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