Re: quest�o

[Sistema ELITE de Ensino - Unidade Bel�m <titular@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Seja o Polin�mio P(x) = x^5 - 1
As 5 ra�zes de P(x) s�o as 5 ra�zes quintas da unidade (ou as 5 ra�zes de
ordem 5 da unidade), que s�o 1, z, z^2, z^3, z^4, onde z � o n�mero complexo
z = cos (2.pi/5) + i.sen (2.pi/5)
Como todo polin�mio, P(x) pode ser desenvolvido em fun��o de suas ra�zes:
P(x) = (x - 1)(x - z)(x - z^2)(x - z^3)(x - z^4).
Calculemos agora Q(x), que � o polin�mio que satisfaz  P(x) = (x - 1)Q(x)
Como  x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1), temos que  Q(x) = x^4 +
x^3 + x^2 + x + 1 = (x - z)(x - z^2)(x - z^3)(x - z^4).
Vale ressaltar que at� aqui na quest�o z � o n�mero complexo z = cos
(2.pi/5) + i.sen (2.pi/5), e no enuncaido w � qualquer uma das 4 ra�zes
complexas de P(x) (z, z^2, z^3, z^4), entretanto como z^5 = 1, a seq��ncia
z, z^2, z^3, z^4 � igual (a menos da ordem) a seq��ncia w, w^2, w^3, w^4.
Por exemplo, fa�a w = z^3. Teremos ent�o:
w = z^3, w^2 = z^6 = z, w^3 = z^9 = z^4, w^4 = z^12 = z^2.
Assim, (1 - w)(1 - w^2)(1 - w^3)(1 - w^4) = (1 - z)(1 - z^2)(1 - z^3)(1 -
z^4) = Q(1) = 5

Notemos tamb�m que � poss�vel fazer uma generaliza��o, que a prop�sito ja
at� caiu em um vestibular antigo do IME, que � a seguinte: Se x^n = 1 (x
diferente de 1 e n um inteiro positivo), prove que  (1 - x)(1 - x^2)(1 -
x^3)...(1 - x^(n - 1)) = n.
A id�ia de resolu��o � an�loga a acima apresentada.

Marcelo Rufino

----- Original Message -----
From: Marcelo Souza <marcelo_souza7@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, November 17, 2000 1:49 PM
Subject: quest�o


> Ol� pessoal,
> Algu�m poderia me ajudar com a seguinte quest�o?
> - temos que w^5 = 1, sendo w diferente de 1, calcule (1 - w)(1 - w^2)(1-
> w^3)(1 - w^4).
> valeu
> abra�os
> marcelo
>
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