RES: problema 4

["Marcio" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

ja mandei essa msg pra lista logo depois do fim de semana da obm. aqui vai
ela de novo.

Minha solucao para o problema 4. Vale uma olhada, pois eu posso ter errado.
Q:A avenida providencia tem infinitos semaforos igualmente espaçados e
sincronizados.  A distancia entre dois semaforos consecutivos e de 1.500m.
Os semaforos ficam abertos por 90seg. e fechados por 1min. Suponha que o
carro trafegue com velocidade constante por esta avenida.  Para quais
valores de velocidade e possivel que o carro passe por uma quantidade
arbritariamente grande de semaforos sem parar em qualquer um deles.

S: Vamos supor primeiro que o carro passa pelo primeiro semaforo no tempo
t=0 e que esse é o momento em que todos os sinais sao ligados (qq outro caso
eh analogo).

Seja n>1. Tn eh o instante em que o carro passa pelo sinal (n+1). Entao,
queremos que:
150t =< Tn =< 150t + 90 para algum natural t.
Por outro lado, com velocidade v, e 1500m entre cada dois sinais, vemos logo
que Tn=(1500n)/v.
Entao, simplificando, queremos que:
5t =< 50n/v =< 5t + 3 => 0 =< 5[10n/v - t] =< 3
Claro que esse t deve ser int(10n/v) (pois o colchete eh positivo e menor
que 1) e queremos que 10n/v - int(10n/v) =< 3/5 para todo n natural.
Mas a equacao an - int(an) =< 3/5 soh eh valida para todo natural quando
a=0.5, a=1 ou em geral qdo a eh inteiro. (pra provar isso, primeiro note que
basta considerar os casos em que a=<1 (p; isso, note que int(n+d)=n+int(d)
qdo n eh inteiro) e ai separe em tres casos: a<0.4, 0.4=<a<0.5 e 0.5<a<1.0:
a<0.4 : Entao quando vc for somando "a" a ele mesmo eternamente, alguma hora
teremos na<0.6 tq (n+1) nao eh menor que 0.6, e nesse caso teremos 0.6<
(n+1)a<1.
Se 0.4<a<0.5, entao 0.8<2a<1
se a>0.5, entao considere o numero b=2a que tem parte decimal entre 0 e 0.5
e pode ser tratado como nos casos anteriores).)
Portanto, restam as opcoes:
parte fracionaria de 10/v igual a 1/2, i.e:
10/v = 0.5, 1.5, 2.5, ... Nesse caso pode ser v=20 ou 100/15=20/3 ou
100/25=4 , etc...
ou,
10/v inteiro (nesse caso v=1,2,5,10...)

Portanto, acho que existem infinitas solucoes (poucas inteiras).

uma familia eh dada por 10/v = (2k+1)/2 para k natural, ou seja, v = 20/i, i
natural impar.
As semais sao 10/v=k, ou seja, 20/v =natural par.

A solucao geral eh portanto 20/v = natural, ou seja, v = 20/k, onde k eh um
natural qualquer.
(obs: reciprocamente ve-se q toda velocidade dessa forma satisfaz o
enunciado.)

abracos,
MArcio

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Marcelo Souza
Enviada em: domingo, 29 de outubro de 2000 12:24
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: problema 4


Oi,
Alguém poderia resolver o problema 4 da OBM pra mim, por favor? Valeu!

4)A avenida Providência tem infinitos semáforos igualmente espaçados e
sincronizados.
A distância entre dois semáforos consecutivos é de 1.500m. Os semáforos
ficam abertos por 1 min 30s, depois fechados por 1 min, depois abertos por 1
min 30s e assim sucessivamente.
Suponha que um carro trafegue com velocidade constante igual a v, em m/s,
pela avenida Providência.
Para quais valores de v é possível que o carro passe por uma quantidade
arbitrariamente grande de semáforos sem parar em qualquer um deles?
obrigado
abraços
macelo

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