Re: RES: problema 4

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, 28 Oct 2000, Marcio wrote:

> ja mandei essa msg pra lista logo depois do fim de semana da obm. aqui vai
> ela de novo.
> 
> Minha solucao para o problema 4. Vale uma olhada, pois eu posso ter errado.
> Q:A avenida providencia tem infinitos semaforos igualmente espaçados e
> sincronizados.  A distancia entre dois semaforos consecutivos e de 1.500m.
> Os semaforos ficam abertos por 90seg. e fechados por 1min. Suponha que o
> carro trafegue com velocidade constante por esta avenida.  Para quais
> valores de velocidade e possivel que o carro passe por uma quantidade
> arbritariamente grande de semaforos sem parar em qualquer um deles.
> 
> S: Vamos supor primeiro que o carro passa pelo primeiro semaforo no tempo
> t=0 e que esse é o momento em que todos os sinais sao ligados (qq outro caso
> eh analogo).
> 
> Seja n>1. Tn eh o instante em que o carro passa pelo sinal (n+1). Entao,
> queremos que:
> 150t =< Tn =< 150t + 90 para algum natural t.
> Por outro lado, com velocidade v, e 1500m entre cada dois sinais, vemos logo
> que Tn=(1500n)/v.
> Entao, simplificando, queremos que:
> 5t =< 50n/v =< 5t + 3 => 0 =< 5[10n/v - t] =< 3
> Claro que esse t deve ser int(10n/v) (pois o colchete eh positivo e menor
> que 1) e queremos que 10n/v - int(10n/v) =< 3/5 para todo n natural.
> Mas a equacao an - int(an) =< 3/5 soh eh valida para todo natural quando
> a=0.5, a=1 ou em geral qdo a eh inteiro. (pra provar isso, primeiro note que
> basta considerar os casos em que a=<1 (p; isso, note que int(n+d)=n+int(d)
> qdo n eh inteiro) e ai separe em tres casos: a<0.4, 0.4=<a<0.5 e 0.5<a<1.0:
> a<0.4 : Entao quando vc for somando "a" a ele mesmo eternamente, alguma hora
> teremos na<0.6 tq (n+1) nao eh menor que 0.6, e nesse caso teremos 0.6<
> (n+1)a<1.
> Se 0.4<a<0.5, entao 0.8<2a<1
> se a>0.5, entao considere o numero b=2a que tem parte decimal entre 0 e 0.5
> e pode ser tratado como nos casos anteriores).)
> Portanto, restam as opcoes:
> parte fracionaria de 10/v igual a 1/2, i.e:
> 10/v = 0.5, 1.5, 2.5, ... Nesse caso pode ser v=20 ou 100/15=20/3 ou
> 100/25=4 , etc...
> ou,
> 10/v inteiro (nesse caso v=1,2,5,10...)
> 
> Portanto, acho que existem infinitas solucoes (poucas inteiras).
> 
> uma familia eh dada por 10/v = (2k+1)/2 para k natural, ou seja, v = 20/i, i
> natural impar.
> As semais sao 10/v=k, ou seja, 20/v =natural par.
> 
> A solucao geral eh portanto 20/v = natural, ou seja, v = 20/k, onde k eh um
> natural qualquer.
> (obs: reciprocamente ve-se q toda velocidade dessa forma satisfaz o
> enunciado.)

A resposta final está correta (se interpretada em m/s).
A explicação *parece* conter as idéias principais mas está
um pouco difícil de acompanhar em alguns pontos.

> abracos,
> MArcio

[]s, N.