Re: Vetores no espaço (talvez eu devesse comprar um bom livro; mas qual?)

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, 27 Oct 2000, José Paulo Carneiro wrote:

> Metendo minha colher no papo entre o Jorge e o Ralph:
> 1) Voce pode definir quantas operacoes quiser com vetores, Jorge, mas eh
> claro que so levarao voce a serio se essas operacoes tiverem aplicacoes
> interessantes.
> 2) A grande (imensa!) vantagem do produto de complexos eh que ela
> (juntamente com a adicao vetorial) torna o plano (algebricamente) um corpo.
> E ja se sabe que nao eh possivel inventar multiplicacao semelhante em nenhum
> R^n com n>2 . O maximo que se consegue em R^3 eh um "quase corpo" (um anel
> de divisao) em que a multiplicacao nap eh comutativa.

O JP provavelmente se distraiu ou errou de tecla:
quem tem estrutura de quase corpo é R^4, os quatérnios.
Os quatérnios são expressões da forma a + bi + cj + dk
onde a, b, c, d são reais, definimos a soma coordenada a coordenada
(i.e., (a + bi + cj + dk) + (e + fi + gj + hk) =
(a+e) + (b+f)i + (c+g)j + (d+h)k)
e a multiplicação por i^2 = j^2 = k^2 = -1,
ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j
(assim, (a + bi + cj + dk) * (e + fi + gj + hk) =
(ae - bf - cg - dh) + (af + be + ch - dg)i +
(ag - bh + ce + df)j + (ah + bg - cf + de)k).

R^3 pode ser interpretado como o conjunto dos quatérnios de parte real nula.
Neste caso o produto escalar é menos a parte real do produto
e o produto vetorial é a parte imaginária do produto.

Existe um produto não associativo importante em R^8;
com este produto os elementos de R^8 são chamados de octônios.
Estes (1,2,4,8) são os únicos valores de n para os quais R^n admite
um produto com certas propriedades legais
(*acho* que são distributividade em relação à soma dos dois lados,
conter uma cópia de R com as operações usuais e todo elemento não nulo
ter inverso multiplicativo).
O que eu sei com certeza é que R e C são os únicos R^n que são corpos 
e que os quatérnios são o único R^n que é um "quase corpo".

[]s, N.