Re: Vetores no espaço (talvez eu devesse comprar um bom livro; mas qual?)

["José Paulo Carneiro" <jpqc@xxxxxxxxxxxxx>]

OK, Nicolau.
Obrigado pela sua observacao. Nao foi um erro de tecla, foi um uma especie
de ato falho, por causa da apresentacao tradicional dos quaternions com i,
j, k (e mais o 1, eh claro, que fazem 4).
E por falar nisto, mais uma vez os complexos:
assim como o corpo dos complexos eh isomorfo ao das matrizes reais 2x2 da
forma (a;-b) (1a linha); (b;a) (2a linha),com a adicao e multiplicacao
usuais de matrizes,
os quaternions podem ser apresentados como as matrizes complexas 2x2 em que
a primeira linha eh (z ; -conj(w)) e a segunda linha (w ; conj(z)) (alguem
confira, pois estou citando de cabeca), e as operacoes usuais de matrizes.
Como cada complexo equivale a 2 reais, olha o R^4 ahi outa vez.
Interessante esta sua informacao sobre o R^8, que para mim eh novidade.
JP

-----Mensagem original-----
De: Nicolau C. Saldanha <nicolau@mat.puc-rio.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Sexta-feira, 27 de Outubro de 2000 20:44
Assunto: Re: Vetores no espaço (talvez eu devesse comprar um bom livro; mas
qual?)


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>On Fri, 27 Oct 2000, José Paulo Carneiro wrote:
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>> Metendo minha colher no papo entre o Jorge e o Ralph:
>> 1) Voce pode definir quantas operacoes quiser com vetores, Jorge, mas eh
>> claro que so levarao voce a serio se essas operacoes tiverem aplicacoes
>> interessantes.
>> 2) A grande (imensa!) vantagem do produto de complexos eh que ela
>> (juntamente com a adicao vetorial) torna o plano (algebricamente) um
corpo.
>> E ja se sabe que nao eh possivel inventar multiplicacao semelhante em
nenhum
>> R^n com n>2 . O maximo que se consegue em R^3 eh um "quase corpo" (um
anel
>> de divisao) em que a multiplicacao nap eh comutativa.
>
>O JP provavelmente se distraiu ou errou de tecla:
>quem tem estrutura de quase corpo é R^4, os quatérnios.
>Os quatérnios são expressões da forma a + bi + cj + dk
>onde a, b, c, d são reais, definimos a soma coordenada a coordenada
>(i.e., (a + bi + cj + dk) + (e + fi + gj + hk) =
>(a+e) + (b+f)i + (c+g)j + (d+h)k)
>e a multiplicação por i^2 = j^2 = k^2 = -1,
>ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j
>(assim, (a + bi + cj + dk) * (e + fi + gj + hk) =
>(ae - bf - cg - dh) + (af + be + ch - dg)i +
>(ag - bh + ce + df)j + (ah + bg - cf + de)k).
>
>R^3 pode ser interpretado como o conjunto dos quatérnios de parte real
nula.
>Neste caso o produto escalar é menos a parte real do produto
>e o produto vetorial é a parte imaginária do produto.
>
>Existe um produto não associativo importante em R^8;
>com este produto os elementos de R^8 são chamados de octônios.
>Estes (1,2,4,8) são os únicos valores de n para os quais R^n admite
>um produto com certas propriedades legais
>(*acho* que são distributividade em relação à soma dos dois lados,
>conter uma cópia de R com as operações usuais e todo elemento não nulo
>ter inverso multiplicativo).
>O que eu sei com certeza é que R e C são os únicos R^n que são corpos
>e que os quatérnios são o único R^n que é um "quase corpo".
>
>[]s, N.
>
>