Re: vetores no espaço?

[Ralph Costa Teixeira <ralph@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Jorge Peixoto Morais wrote:
> 
> ->Mensagem original de Ralph:
> Hmmm... É isso, mas falta multiplicar por um fator... e botar um
> módulo.... acho que é 1/6 vezes isso... Vejamos do jeito que eu sei
> fazer:
> 
> Considere os vetores ei=(Xi-X4;Yi-Y4;Zi-Z4) para i= 1,2,3. O que eu
> lembro é que o volume gerado pelo paralelepípedo com lados e1, e2 e e3 é
> dado pelo módulo do produto misto:
> 
> e1.(e2 x e3) = [e1,e2,e3]

	Ok... O grande problema eh te convencer que v1.(v2 x v3) é de fato o
volume do paralelepípedo de lados dados pelos vetores v1, v2 e v3... O
ponto ali é um produto escalar e o x é um produto vetorial. Mas como
você não conhece os vetores no espaço, primeiro eu tenho que dizer algo
sobre o que são esses produtos... Isto vai ser longo, mas ainda assim
mais sucinto do que o assunto merece. Leia em três partes, acostumando
com uma de cada vez...

--//--

	O PRODUTO ESCALAR

	Dados dois vetores em R^3, digamos, u e v, definimos o produto escalar
u.v como o seguinte NÚMERO:

	|u||v|cos(alpha)

	onde alpha é o ângulo entre os vetores u e v no plano determinado por u
e v. Usando a lei dos cossenos no triângulo com lados dados pelos
vetores u, v e u-v, tem-se:

	|u|^2+|v|^2-2|u||v|cos(alpha)=|u-v|^2

isto é

	2 u.v = |u|^2+|v|^2-|u-v|^2

	Decomponha u e v em coordenadas, u=(u1,u2,u3) e v=(v1,v2,v3), faça a
conta acima (|u|^2 = u1^2+u2^2+u3^2, etc.) e chegue a:

	u.v = u1.v1 + u2.v2 + u3.v3

	(o lado esquerdo é o produto escalar de dois vetores, o lado direito
tem multiplicações de números reais)

	Esta aí é a expressão algébrica de u.v (de fato, muita gente DEFINE o
produto escalar com a expressão algébrica e depois PROVA que dá no mesmo
que a definição geométrica acima).

	Em particular, note que u.v=0 se e somente se u e v são ortogonais
(perpendiculares), o que dá uma maneira algébrica rapidíssima de
verificar se dois vetores (u1,u2,u3) e (v1,v2,v3) no espaço são
ortogonais (basta ver se u1v1 + u2v2 + u3v3 = 0).

	Note que o ângulo entre dois vetores no espaço não é muito diferente do
que o ângulo entre dois vetores no plano, e se mede em radianos
(estreorradianos é para medir ângulos SÓLIDOS, que é outra coisa).

--//--

	O PRODUTO VETORIAL

	Dados dois vetores em R^3, digamos, u e v, definimos o seu produto
vetorial u x v como um VETOR que tem as seguintes propriedades:

	i) Tal vetor tem TAMANHO |u||v|sin(alpha) onde alpha é o ângulo entre u
e v (em outras palavras, seu tamanho é a área do paralelogramo
determinado por u e v).
	ii) A direção de tal vetor é perpendicular ao plano determinado por u e
v;
	iii) O sentido deste vetor é dado pela regra da mão direita (isto é, se
você fechar a sua mão direita começando com os 4 dedos apontando na
direção de u e terminando quando seus dedos apontam para v, mantendo seu
polegar imóvel, seu polegar apontará na direção de u x v);

	Por exemplo, denote por i, j e k os vetores na direção dos eixos x, y e
z respectivamente, com tamanho 1, isto é, i=(1,0,0), j=(0,1,0) e
k=(0,0,1). Treine a definição verificando que:

	i x j = k	j x i = -k	i x k = -j
	j x k = i	k x j = -i	k x i = j
	i x i = j x j = k x k = 0 (o VETOR 0 aqui)	

	Em particular, note que v1 x v2 = -(v2 x v1) em geral e, portanto, a
ordem importa!

	A álgebra aqui é um pouco mais feia... Uma maneira legal de achar uma
expressão algébrica para u x v é provar primeiro que, para vetores a, b
e c quaisquer e um número real s qualquer, tem-se:

	(sa) x b = s (a x b) (sai imediato da definição)
	(a+b) x c= (a x c)+(b x c) (sai por argumentos geométricos, mas dá
algum trabalho)

daí, como já calculamos tudo nos vetores i, j e k, teríamos então:

	u x v = (u1 i + u2 j + u3 k) x (v1 i + v2 j + v3 k) =
	= (u2 v3 - u3 v2) i + (u1 v3 - u3 v1) j + (u1 v2 - u2 v1) k

que é a expressão algébrica de u x v. A maneira mais fácil de lembrá-la
é por um determinante (verifique-o):

		 |  i  j  k |
	u x v =  | u1 u2 u3 |
                 | v1 v2 v3 |

	Alternativamente, pode-se DEFINIR u x v através da expressão algébrica
acima e então verificar as afirmações geométricas. Faça-o! Você tem que
checar que o vetor definido por	(u2v3-u3v2,u1v3-u3v1,u1v2-u2v1) é de
fato perpendicular tanto a u como a v (fácil usando o produto escalar),
que tem tamanho |u||v|sin(alpha) (álgebra feia, mas não é difícil; use a
expressão de |u||v|cos(alpha) do produto escalar e que sin^2+cos^2=1
para tirar esta); e que o sentido está correto.

--//--

	O PRODUTO MISTO

	Enfim, dados três vetores u, v e w, defina o produto misto [u,v,w] como
o NÚMERO

	[u,v,w] = u.(v x w)

(note que v x w é um vetor, cujo produto escalar com u dá um número).

	A expressão algébrica pode ser obtida imediatamente a partir das
expressões algébricas do produto escalar e do produto vetorial, apesar
da coisa ser um pouco feia; a expressão algébrica feia completa pode ser
escrita como um determinante:

                  | u1 u2 u3 |
	[u,v,w] = | v1 v2 v3 |
                  | w1 w2 w3 |

	Esta é a expressão que eu tinha escrito para o volume do
paralelepípedo, a menos do módulo. Por que isto é o volume do
paralelepípedo? 

	Bom, isso é um pouco difícil sem a figura... Desenhe aí um
paralelepípedo (não necessariamente retângulo) com vértices ABCD-EFGH
(ABCD é a base de baixo e EFGH é a base de cima). Digamos que AE é o
vetor u, AB é v e AD é w. O volume do paralelepípedo é area da base
vezes altura; a área do paralelogramo-base é dada por |AB||AD|sin(alpha)
onde alpha é o ângulo entre v e w, isto é:

	Área da base = |v x w|

	E a altura? Desenhe a perpendicular ao plano ABCD que parte de E,
digamos, EI, onde I está no plano EFGH. Seja beta o ângulo entre AE e
EI. No triângulo AEI, note que a altura traçada de E vale
|u|cos(beta).... Mas beta é também o ângulo entre o vetor u (=AE) e o
vetor v x w (pois este é paralelo a EI, já que ambos são perpendiculares
a EFGH). Então:

	Volume = |u||v x w| cos(beta) onde beta é o ângulo entre u e (vxw)

	Volume = |u.(vxw)|

como queríamos demonstrar.

	--//--

	Depois disso tudo, você encaixa a demonstração que eu fiz de que o
volume do tetraedro é aquela expressão. Definitivamente, esta NÃO Ë a
demonstração mais simples da fórmula que você deu do volume do
tetraedro... mas é a mais instrutiva, já que todos os conceitos acima
são bastante úteis.

	Abraço,
		Ralph