Esterorradiano e vetores no espaço? (Re:Uma questã o de Geometria Espacial)

["Jorge Peixoto Morais" <jorge_peixotom@xxxxxxxxxxx>]

->Mensagem original de Ralph:
Hmmm... É isso, mas falta multiplicar por um fator... e botar um
módulo.... acho que é 1/6 vezes isso... Vejamos do jeito que eu sei
fazer:

Considere os vetores ei=(Xi-X4;Yi-Y4;Zi-Z4) para i= 1,2,3. O que eu
lembro é que o volume gerado pelo paralelepípedo com lados e1, e2 e e3 é
dado pelo módulo do produto misto:

e1.(e2 x e3) = [e1,e2,e3]

que, algebricamente, dá o determinante de

X1-X4    X2-X4    X3-X4
Y1-Y4    Y2-Y4    Y3-Y4
Z1-Z4    Z2-Z4    Z3-Z4

O tetraedro tem metade da (área da) base e a mesma altura do
paralelepípedo... e o volume do tetraedro é 1/3 base.altura enquanto o
paralelepípedo é base.altura... Então é isso mesmo, falta um fator 1/6
no determinante.

Agora, é o mesmo determinante? Ah, sim, basta começar com o seu
determinante, fazer cada linha menos a última, a última coluna vira
0;0;0;1 e o que sobra é o meu determinante. Perfeito!

Se eu lembro direito, isto funciona em dimensão N e o fator era...
hmmm... acho que era 1/N!...

Abraço,
Ralph

P.S.: Se você quiser manter o sinal, sem tomar o módulo, você ganha
alguma informação sobre a orientação relativa dos vetores, além do
volume.

> Jorge Peixoto Morais wrote:
>
> Por acaso o volume da pirâmide com vértics em (X1;Y1;Z1)... (X4;Y4;Z4)
> é |X1;Y1;Z1;1|
>    |X2;Y2;Z2;1|
>    |X3;Y3;Z3;1|
>    |X4;Y4;Z4;1|
> ?
Valeu pela resposta... Mas eu nao entendi a prova...O problema eh que eu so
conheço os vetores no plano; nao sei nada dos vetores no espaco. Voce pode
me falar brevemente de como se estendem-se as ideias planas para os vetores
no espaco?Por exemplo, eu acho que a ideia de angulo muda, introduzindo algo
como "angulo 3d" (o angulo entre 3 planos); isso interfere no Calculo
Infinitesimal com funcoes de 3 variaveis?

PS. O que eh esterorradiano?