Re: Versao forte de problema da olimpiada Cone Sul

Olá, como faço para conseguir a revista Eureka!.. Sou novo na lista e ainda estou por fora dos assuntos

A eureka tem page na net???

-----Mensagem original-----
De: Jose Luiz Rosas Pinho <pinho@pet.mtm.ufsc.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quarta-feira, 27 de Setembro de 2000 18:59
Assunto: Versao forte de problema da olimpiada Cone Sul

O problema 2 da 10a Olimpiada do Cone Sul (1999), publicado na EUREKA! 5

tem uma versao mais forte. Originalmente o problema diz:

"Seja ABC um triangulo retangulo em A. Construir o ponto P sobre a

hipotenusa BC, tal que se Q for o pe da perpendicular tracada desde P ao

cateto AC, entao a area do quadrado de lado PQ eh igual aa area do

retangulo de lados iguais a PB e PC. Mostrar os passos da construcao."

O fato eh que a hipotese de que o triangulo seja retangulo eh

desnecessaria (embora usada na solucao apresentada). Outra solucao seria:

1)Tome um ponto M qualquer no lado AC e por ele trace uma perpendicular a

AC que cruzara BC em um ponto N.

2) Por N trace agora uma perpendicular a BC (de preferencia para o

exterior do triangulo, por clareza de construcao) e marque nesta

perpendicular um ponto D tal que ND = MN.

3) Por C trace a semi-reta CD. Por semelhanca,por qualquer ponto X desta

semi-reta, se Y eh o pe da perpendicular a BC por X, entao XY eh igual aa

distancia de Y a AC.

4) Trace agora a semicircunferencia com centro no ponto

medio de BC e com raio igual aa metade de BC (para o exterior do

triangulo). A semi-reta CD cruzara esta semicircunferencia no ponto O.

5) Finalmente por O, trace a perpendicular a BC encontrando o ponto P

procurado pois OP^2 = PB.PC e OP = PQ, Q sendo o pe da perpendicular a AC

por P.

Jose Luiz Rosas Pinho

Coordenador Regional - SC