Versao forte de problema da olimpiada Cone Sul

[Jose Luiz Rosas Pinho <pinho@xxxxxxxxxxxxxxx>]

O problema 2 da 10a Olimpiada do Cone Sul (1999), publicado na EUREKA! 5
tem uma versao mais forte. Originalmente o problema diz:

"Seja ABC um triangulo retangulo em A. Construir o ponto P sobre a
hipotenusa BC, tal que se Q for o pe da perpendicular tracada desde P ao
cateto AC, entao a area do quadrado de lado PQ eh igual aa area do
retangulo de lados iguais a PB e PC. Mostrar os passos da construcao."

O fato eh que a hipotese de que o triangulo seja retangulo eh
desnecessaria (embora usada na solucao apresentada). Outra solucao seria:

1)Tome um ponto M qualquer no lado AC e por ele trace uma perpendicular a
AC que cruzara BC em um ponto N.
2) Por N trace agora uma perpendicular a BC (de preferencia para o
exterior do triangulo, por clareza de construcao) e marque nesta
perpendicular um ponto D tal que ND = MN.
3) Por C trace a semi-reta CD. Por semelhanca,por qualquer ponto X desta
semi-reta, se Y eh o pe da perpendicular a BC por X, entao XY  eh igual aa
distancia de Y a AC.
4) Trace agora a semicircunferencia com centro no ponto
medio de BC e com raio igual aa metade de BC (para o exterior do
triangulo). A semi-reta CD cruzara esta semicircunferencia no ponto O.
5) Finalmente por O, trace  a perpendicular a BC encontrando o ponto P
procurado pois OP^2 = PB.PC e OP = PQ, Q sendo o pe da perpendicular a AC
por P.

               Jose Luiz Rosas Pinho
               Coordenador Regional - SC