Re: Questão interessante

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

Aí vai a solução pra desigualdade que eu propus !!! Quer tiver algo
diferente, mande por favor.... ou, se possível, façam comentários.
...........
Vou denotar por e` o númeno de Euler e por S(n) o somatório de 1/i com i
variando de 1 até n.... e T(n) o somatório de i^(1/i) com i de 1 até n....
Ah, pra facilitar, som(1,n)=somatório de 1 até n
Lema 1 : S(n) > Ln(n+1)
Como (1 + 1/n)^(n)<e` , temos que (n+1)*Ln[(n+1)/n]<1....
1/(n+1)>Ln[(n+1)/n] !!!! Daí, temos :
1/1 > Ln(2/1)
1/2 > Ln(3/2)
1/3 > Ln(4/3)
.
.
.
1/n > Ln[(n+1)/n]
Somando tudo membro a membro, temos :
S(n) > Ln(n+1).....
-------
Agora, tomemos n números : um igual a n e os outros n-1 iguais a 1. Pela
desigualdade das médias, temos... (n)^(1/n) < (2n-1)/n = 2 -1/n e...
1 = 2 - 1/1
2^(1/2) < 2 - 1/2
3^(1/3) < 2 - 1/3
.
.
.
n^(1/n) < 2 - 1/n
Somando membro a membro, temos : T(n) < 2n - S(n) < 2n - Ln(n+1) .... o lado
direito da desigualdade está provado.... vamos para o lado esquerdo !
Basta usar que a média geométrica é maior que a média harmônica... n^(1/n)
> n/[(n-1)+1/n]=n^2/(n^2-n+1)
Vou repetir o mesmo processo de somatóriom que já fiz duas vezes nas
desigualdades provadas acima :
T(n) > som(1,n) [ i^2/(i^2-i+1)] = som(1,n) [1 + (i-1)/(i^2-i+1)] = n +
som(1,n-1) [(i+1-1)/((i+1)^2-(i+1)+1)] = n + som(1,n-1) [i/(i^2+i) = n +
som(1,n-1) [1/(i+1)] = n - 1 + S(n)........ então, T(n)>n+[Ln(n+1)] - 1.....
Como 1>Ln2, então T(n) > n + Ln[(n+1)/2], e está provada a desigualdade :
n+Ln[(n+1)/2]<T(n)<2n-Ln(n+1)
OBS.: Pela transitividade da desigualdade, temos n+Ln[(n+1)/2)<2n-Ln(n+1)
.... n>Ln{[(n+1)^2]/2}, algo que achei muito interessante,.... será que está
tudo certo ?? Comentem se não estiver...
  Abraços,
     ¡ Villard !

-----Mensagem original-----
De: Bruno Leite <superbr@zip.net>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Segunda-feira, 11 de Setembro de 2000 16:32
Assunto: Re: Questão interessante


>At 19:40 10/09/00 -0300, you wrote:
>>    Ol&aacute;, pessoal, venho aqui trazer uma  quest&atilde;o que eu
>>inventei enquanto rabiscava num papel aqui em casa...  &eacute; o
>>seguinte..... Provar :     <  [somat&oacute;rio de k^(1/k) com k de 2
>>at&eacute;< 2n -  ln(n+1) .........................
>
>Quem é esse n?
>
>Bruno Leite
>
>&Eacute; bastante
>>interessante a  resolu&ccedil;&atilde;o que eu dei.... se algu&eacute;m
>>quiser eu mando, mas por  enquanto, tentem !     Abra&ccedil;os,
>>!Villard!
>
>