Re: estranho

["Rogerio Fajardo" <rogeriofajardo@xxxxxxxxxxx>]

Já que o assunto é Teoria dos Conjuntos, gostaria que alguém me resolvesse 
algumas dúvidas:
   1)A cardinalidade do conjunto dos números reais é 2^n, onde n é a 
cardinalidade do conjunto dos naturais. Existe, então, uma bijeção entre o 
conjunto dos reais e o conjunto dos subconjuntos dos naturais? Como prova?
   2)Existe uma bijeção entre o conjunto dos reais e o conjunto dos 
subconjuntos enumeráveis dos reais?
   3)Qual seria um exemplo de um conjunto maior do que o dos reais?

					Rogerio Fajardo


>From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: estranho
>Date: Tue, 12 Sep 2000 13:53:17 -0300 (BRT)
>
>
>
>On Mon, 11 Sep 2000, Eduardo Favarão Botelho wrote:
>
> > Espera aí!
> >
> >     Que negócio é esso de que um infinito é maior que o outro? como 
>assim
> > ser Q um conjunto enumerável?
> >     Estou confuso.
> >     E aproveitando a deixa, gostaria de deixar um problema bonitinho:
> > calcule S, sendo
> >
> >     S = 1 +2/2 +3/4 +4/8 +5/16 + ...
> >
> >     Abraços, Eduardo
> >
> >
> > >Um exemplo:
> > >tome o conjunto dos números reais R.
> > >lembre-se que Q (conjunto dos numeros racionais) e I (conjunto dos 
>numeros
> > irracionais) estao contidos >em R.
> > >Escolha um elemento de R aleatoriamente.
> > >Sabe qual e a probabilidade desse elemento ser racional?
> > >ZERO, apesar de Q ser um conjunto infinito e denso em R e portanto esse
> > evento e perfeitamente >possivel.
> > >Isto decorre do fato de Q ser um conjunto enumeravel (se e que isso faz
> > algum sentido para voce) e I, >assim como R nao sao enumeraveis, ou seja 
>sao
> > "muito maiores".
> >
>
>Um conjunto infinito X é enumerável se existe bijeção entre X e N,
>o conjunto dos naturais.
>
>O cardinal de X é igual ao de Y se existe bijeção entre X e Y.
>Escreve-se |X| = |Y|.
>X é infinito enumerável se |X| = |N|.
>
>O cardinal de X é maior ou igual do que o de Y se existir:
>(a) função injetora de Y para X;
>(b) função sobrejetora de X para Y.
>As condições (a) e (b) são equivalentes.
>Escreve-se |X| >= |Y|.
>
>Naturalmente, escreve-se |X| > |Y| quando |X| >= |Y| mas |X| != |Y|
>(onde != significa 'diferente de', ou seja, 'não igual a').
>
>Pode-se demonstrar que |N| = |Z| = |Q| < |R| = |C|,
>onde estes são os conjuntos dos naturais, inteiros, racionais,
>reais e complexos.
>Para qualquer conjunto X, sempre temos |X| < |P(X)|,
>onde P(X) = {Y | Y é subconjunto de X} é o conjunto das partes de X.
>Para quaisquer conjuntos infinitos X e Y temos |X| <= |Y| ou |Y| <= |X|
>e |X U Y| = |X x Y| = max(|X|,|Y|).
>
>O assunto é grande, veja um bom livro de teoria dos conjuntos,
>como Naïve Set Theory, Halmos (existe tradução).
>
>[]s, N.
>

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