Re: Uma estranha probabilidade!

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, 12 Aug 2000, Carlos Gomes wrote:

>      Al�, caros amigos passei um tempinho um pouco afastado da lista
> (estava somente lendo os e-mails) pois estava bastante atarefado. Sim
> mas vamos ao que interressa: qual a quest�o? Recentemente lendo o livro
> ingenuity i mathematics (MAA - Ross Honsberger) vi um belo problema que
> era o seguinte: Considere, no plano cartesiano, um quadrado de v�rtices
> (0,0) , (1,0) , (1,1) e (0,1) . Escolhemos aleatoriamente, no interior
> desse quadrado um ponto P(x,y).Escolhido esse ponto consideremos um
> tri�ngulo cujos lados t�m medidas x , y e 1.

A primeira observa��o � que nem sempre existe tal tri�ngulo;
se x = y = 0,1, por exemplo, tal tri�ngulo n�o existir�.

> Qual a probabilidade desse
> tri�ngulo ser obtus�ngulo.

Qual das duas coisas abaixo voc� quer perguntar:

(a) Qual a probablilidade de que o tri�ngulo exista e seja obtus�ngulo?

(b) Dado que o tri�ngulo existe, qual a probabilidade de que ele seja
    obtus�ngulo?

As respostas s�o diferentes.

> A sa�da do problema � f�cil e bastante
> bonita, mas fiquei pensando qual seria a probabilidade desse tri�ngulo
> ser ret�ngulo? .Me parece que a sa�da apresendata no livro para o
> primeiro problema n�o pode ser adaptada para este segundo caso, pois l�
> ele efetua um divis�o de medidas de �reas e no presente caso, a coisa
> fica meio complicada pois ao tentar resolver teriaos que x^2+y^2=1 e
> x+y>1 o que gera somente uma linha e n�o uma regi�o como no primeiro
> caso, e agora?!. Bem , n�o sei, mas gostaria da ajuda de voc�s, caros
> amigos.
> 
> Carlos A. Gomes.

N�o sei se devo dar a solu��o para o primeiro problema, ali�s bem legal.
Mas a resposta da sua varia��o � zero:
a probabilidade de que algum dos �ngulos seja exatamente 90 graus � zero.

Isto n�o significa que seja imposs�vel que o tri�ngulo seja ret�ngulo.
Um problema an�logo mais simples seria:
escolha um n�mero real ao acaso no intervalo [0,1];
qual a probabilidade de que este n�mero seja exatamente igual a 1/2?
A resposta � zero, e isto n�o significa que seja imposs�vel
que o n�mero sorteado seja 1/2.
Talvez voc� prefira dizer que � infinitamente improv�vel.

[]s, N.
>