Re: Uma estranha probabilidade!

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, 12 Aug 2000, Carlos Gomes wrote:

>      Alô, caros amigos passei um tempinho um pouco afastado da lista
> (estava somente lendo os e-mails) pois estava bastante atarefado. Sim
> mas vamos ao que interressa: qual a questão? Recentemente lendo o livro
> ingenuity i mathematics (MAA - Ross Honsberger) vi um belo problema que
> era o seguinte: Considere, no plano cartesiano, um quadrado de vértices
> (0,0) , (1,0) , (1,1) e (0,1) . Escolhemos aleatoriamente, no interior
> desse quadrado um ponto P(x,y).Escolhido esse ponto consideremos um
> triângulo cujos lados têm medidas x , y e 1.

A primeira observação é que nem sempre existe tal triângulo;
se x = y = 0,1, por exemplo, tal triângulo não existirá.

> Qual a probabilidade desse
> triângulo ser obtusângulo.

Qual das duas coisas abaixo você quer perguntar:

(a) Qual a probablilidade de que o triângulo exista e seja obtusângulo?

(b) Dado que o triângulo existe, qual a probabilidade de que ele seja
    obtusângulo?

As respostas são diferentes.

> A saída do problema é fácil e bastante
> bonita, mas fiquei pensando qual seria a probabilidade desse triângulo
> ser retângulo? .Me parece que a saída apresendata no livro para o
> primeiro problema não pode ser adaptada para este segundo caso, pois lá
> ele efetua um divisão de medidas de áreas e no presente caso, a coisa
> fica meio complicada pois ao tentar resolver teriaos que x^2+y^2=1 e
> x+y>1 o que gera somente uma linha e não uma região como no primeiro
> caso, e agora?!. Bem , não sei, mas gostaria da ajuda de vocês, caros
> amigos.
> 
> Carlos A. Gomes.

Não sei se devo dar a solução para o primeiro problema, aliás bem legal.
Mas a resposta da sua variação é zero:
a probabilidade de que algum dos ângulos seja exatamente 90 graus é zero.

Isto não significa que seja impossível que o triângulo seja retângulo.
Um problema análogo mais simples seria:
escolha um número real ao acaso no intervalo [0,1];
qual a probabilidade de que este número seja exatamente igual a 1/2?
A resposta é zero, e isto não significa que seja impossível
que o número sorteado seja 1/2.
Talvez você prefira dizer que é infinitamente improvável.

[]s, N.
>