Re: Problema de Geometria Plana

[Augusto Morgado <morgado@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Ponce wrote:
> 
> Caros amigos e ao meu grande amigo Carlos Victor,
> 
> A solu??o dada pelo Carlos Victor ? prefeita, para o caso
> do quadril?tero ABCD ser convexo, o que n?o foi dito no enunciado.!!.
> Entretanto, o resultado ? verdadeiro mesmo no caso de n?o ser convexo,
> e isso deixo para voc?s constaterem a veracidade.
> Acredito ainda que seria interessante limitarmos inferiormente o valor
> de MN.
> Um abra?o
> PONCE
>  
>  
> 
> Carlos Victor wrote:
> 
> > At 23:43 04/08/00 -0300, josimat wrote:
> > >A? vai o problema da prova do Col?gio Naval (?ltima ter?a feira):
> > >
> > >Seja ABCD um quadril?tero qualquer onde os lados opostos N?O s?o
> > paralelos.
> > >Se as medidas dos lados opostos AB e DC s?o, respectivamente,
> > iguais a 12 e
> > >16, um valor poss?vel para o segmento de extremos M (ponto m?dio do
> > lado AD)
> > >e N (ponto m?dio do lado BC) ?
> > >(A) 12,5               (B) 14                    (C) 14,5
> > >(D) 16                   (E) 17
> > >
> > >JOSIMAR
> > >-----Mensagem original-----
> > >De: Augusto Morgado <morgado@centroin.com.br>
> > >Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > >Data: Sexta-feira, 4 de Agosto de 2000 03:03
> > >Assunto: Re: Problema de Geometria Plana
> > >
> > >
> > > >
> > > >
> > > >Eduardo Quintas da Silva wrote:
> > > >>
> > > >> Seja ABCD um quadril?tero onde os lados opostos n?o s?o
> > paralelos, AB =
> > > >> 12,             CD = 16, M ponto m?dio de AD e N ponto m?dio de
> > BC
> > > >> calcule MN.
> > > >Eduardo:
> > > >O problema nao admite resposta, esta super indeterminado.
> > > >Parece que a intencao eh o problema que caiu na prova do colegio
> > naval.
> > > >Se for, o fato e que se fosse um trapezio a resposta seria 14.
> > Nao
> > > >sendo, porque os lados nao sao paralelos, a resposta certa na
> > prova era
> > > >que MN tinha que ser menoe que 14.
> > > >
> > > >Sugiro que voce jogue de novo o problema na lista, mas completo.
> > > >Morgado
> >
> > Nota : "A quest?o  pedia um poss?vel valor  para  MN " .
> > Para este  problema, fa?a  o seguinte : Trace a diagonal AC e seja P
> > o
> > ponto  m?dio de  AC . Como AB  e CD n?o s?o paralelos  , temos
> > formado o
> > tri?ngulo MNP. Como NP = 6   e MP =  8 e pela exist?ncia de MNP ,
> > conclu?mos que  MN <  14 ; das op??es a ?nica  poss'vel ? 12,5  ou
> > seja ,
> > op??o  A , ok ?
> >
> > Abra?os , Carlos  Victor

Seja ABCD o quadrilatero convexo ou nao. Sejam M medio de AD e N medio
de BC. Usemos vetores. MN = N-M = (B+C)/2 - (A+D)/2 = 1/2 (B-A+C-D)=
1/2(AB+DC). Como o modulo da soma esta compreendido entre a soma e a
diferença dos modulos, o comprimento de MN esta entre 14 e 2.
Morgado