Re: Problema sobre uma eq. do segundo grau

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

Alow, esse problema caiu na prova do ime desse ano, como todos já devem
saber.... lá vai :
Seja P(x) o polinômio gerado após tirar eliminar os denominadores:
3x^2 - 2(a+b+c)x + ab + bc + ac = P(X)..... anlisando o delta da equação,
vemos que é sempre positico, facilmente, o que garante que há 2 raízes
distintas....assim, temos que,
P(a)=a^2 -ab-ac+bc ..... P(a)=(a-b)(a-c)
Analogamente, P(b)=(b-a)(b-c) ... e P(c)=(c-a)(c-b) ....
Como a<b<c, então, P(a)>0, P(b)<0 e P(c)>0.... Sabemos que o gráfico de
P(x), tem concavidade voltada para cima, pois o coeficiente em x^2 é >0.
Assim, entre x1 e x2, temos P`s negativos.... x1<b<x2. Como P(a)>0, a deve
ser exterior ao intervalo [x1,x2].... não pode ser a>x2, pois implicaria em
a>b (absurdo !!!) então, a<x1..... mesma coisa para o c. P(c)>0, então c é
exterior ao intervalo das raízes.... como c>b, então c>x2.... a<x1<b<x2<c...
-----Mensagem original-----
De: Douglas C. Andrade <douglas@prover.com.br>
Para: Lista de Matemática <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Domingo, 6 de Agosto de 2000 15:03
Assunto: Problema sobre uma eq. do segundo grau


>Sejam a,b e c números reais tais que a<b<c. Mostre que a equação
>
>1/(x-a)+1/(x-b)+1/(x-c)=0
>
>possui exatamente duas raízes x1 e x2, que satisfazem a condição
>a<x1<b<x2<c.
>
>Agradeço desde já as soluções
>
>
>